题目内容
4．如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l．第一、四象限有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于Oxy平面向里．位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连接发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子．在0.3t0时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极板边缘电场的影响）．已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时刻经极板边缘射入磁场．上述m、q、l、t0、B为已知量．（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）
（1）求电压U0的大小．
（2）求t0时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径．
（3）求带电粒子在磁场中运动的最短时间和最长时间．
分析 （1）首先求出电容器加有电压时的电场强度，从而求出有电场时的加速度，把粒子的运动在竖直方向上分为两段，先是匀加速运动，后是匀速运动，在竖直方向上，这两段位移的和大小上等于板间距离的一半．列式即可求出电压．
（2）当t0=0时，粒子进入电场，根据已知条件求出离开电场时水平方向上的速度和竖直方向上的速度，即可求出和速度的大小，结合半径公式即可求出在匀强磁场中做圆周运动的半径．
（3）带电粒子在磁场中的运动时间最短，即为进入磁场时速度方向与y轴的夹角最小的情况，当在电场中偏转的角度最大时，在磁场中的运动时间最短，画出离子运动的轨迹图，结合几何知识即可求出最短与最长时间．
解答 
解：（1）t=0时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，
t0时刻刚好从极板边缘射出，在y轴负方向偏移的距离为$\frac{1}{2}l$，
则有：$E=\frac{U_0}{l}$，由牛顿第二定律得：Eq=ma，$\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}$at02，
联立以上三式，解得两极板间偏转电压为：U0=$\frac{m{l}^{2}}{q{t}_{0}^{2}}$；
（2）t0时刻进入两极板的带电粒子，两极板没有电场，带电粒子沿x轴方向做匀速直线运动．
速度大小为${V_0}=\frac{l}{t_0}$，
设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，
则有：qvB=m$\frac{{{v_0}^2}}{R}$，联立以上二式解得：R=$\frac{ml}{{qB{t_0}}}$；
（3）2t0时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短．
带电粒子离开磁场时沿y轴正方向的分速度为v'y=at0，
设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为d，
则：tanα=$\frac{v}{{v{'_y}}}$，解得：α=$\frac{π}{4}$，
带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，圆弧所对的圆心角为：2α=$\frac{π}{2}$，所求最短时间为tmin=$\frac{1}{4}T$，
带电．立以上两式解得最短时间为：tmin=$\frac{πm}{2Bq}$，
同理，t=0进入两极板的带电粒子在磁场中运动的时间最长：${t_{max}}=\frac{3}{4}T$，
所以最长时间为：${t_{max}}=\frac{3πm}{2Bq}$；
答：
（1）电压U0的大小为$\frac{m{l}^{2}}{q{t}_{0}^{2}}$．
（2）t0时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为$\frac{ml}{{qB{t_0}}}$．
（3）带电粒子在磁场中运动的最短时间为$\frac{πm}{2Bq}$，最长时间为$\frac{3πm}{2qB}$．
点评 该题考查到的知识点较多，首先是考察到了离子在匀强电场中的偏转，并且电场还是变化的，这就要求我们要有较强的过程分析能力，对物体的运动进行分段处理；还考察到了离子在匀强磁场中的偏转，要熟练的会用半径公式和周期公式解决问题；在解决粒子在有界磁场中的运动时间问题时，要注意偏转角度与运动时间的关系，熟练的运用几何知识解决问题．是一道难度较大的题．
名校通行证有效作业系列答案
如图所示，两根间距为l的光滑平行金属导轨与水平面夹角为α，图中虚线下方区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于斜面向上．两金属杆质量均为m，电阻均为R，垂直于导轨放置．开始时金属杆ab处在与磁场上边界相距l的位置，金属杆cd处在导轨的最下端，被与导轨垂直的两根小柱挡住．现将金属杆ab由静止释放，当金属杆ab刚进入磁场便开始做匀速直线运动，己知重力加速度为g，则（ ）| A． | 金属杆ab进入磁场时的感应电流的方向为由b到a | |
| B． | 金属杆ab进入磁场时的速度大小为$\sqrt{2glsinα}$ | |
| C． | 金属杆ab进入磁场后产生的感应电动势$\frac{mgsinα}{Bl}$ | |
| D． | 金属杆ab进入磁场后金属杆cd对两根小柱的压力大小为零 |
质量为0.8kg的物块静止在倾角为30°的斜面上，若用平行于斜面沿水平方向大小等于3N的力推物块，物块仍保持静止，如图所示，则物块所受到的摩擦力大小等于（ ）| A． | 3N | B． | 4N | C． | 5N | D． | 3$\sqrt{3}$N |
竖直放置的螺线管通以图所示的电流，螺线管正下方的水平桌面上有一个导体圆环，当螺线管中所通的电流发生如下图所示的哪种变化时，导体圆环会受到向上的安培力（ ）
如图所示，MN和PQ是两根放在竖直面内且足够长的平行金属导轨，相距l=50cm．导轨处在垂直纸面向里的磁感应强度B=5T的匀强磁场中．一根电阻为r=0.1Ω的金属棒ab可紧贴导轨左右运动．两块平行的、相距d=10cm、长度L=20cm的水平放置的金属板A和C分别与两平行导轨相连接．图中跨接在两导轨间的电阻R=0.4Ω．其余电阻忽略不计．已知当金属棒ab不动时，质量m=10g、带电量q=-10-3C的小球以某一速度v0沿金属板A和C的中线射入板间，恰能射出金属板（g取10m/s2）．求：| A． | mg′＞mg | |
| B． | mg′＜mg | |
| C． | mg′和mg的方向都指向地心 | |
| D． | mg′和mg的方向都指向北京所在纬线圈的圆心 |
如图所示，两物体A、B用轻质弹簧相连静止在光滑水平面上，现同时对A、B两物体施加等大反向的水平恒力F1、F2，使A、B同时由静止开始运动．在以后的运动过程中，关于A、B两物体与弹簧组成的系统，下列说法正确的是（整个过程中弹力弹簧不超过其弹性限度）（ ）| A． | 由于F1、F2所做的总功为零，所以系统的机械能始终不变 | |
| B． | 当A、B两物体之间的距离减小时，系统的机械能减小 | |
| C． | 当弹簧伸长到最长时，系统的机械能最大 | |
| D． | 当弹簧弹力的大小与F1、F2的大小相等时，A、B两物体速度为零 |