Question

8．经长期观测发现，A行星运行的轨道半径为R₀，周期为T₀，但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t₀时间发生一次最大的偏离．如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B，则行星B运动轨道半径R（　　）

• A． R=R₀$\root{3}{\frac{{{t}_{0}}^{2}}{（{t}_{0}-{T}_{0}）^{2}}}$
• B． R=R₀$\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}$
• C． R=R₀$\root{3}{\frac{（{t}_{0}+{T}_{0}）^{2}}{（{t}_{0}-{T}_{0}）^{2}}}$
• D． R=R₀$\root{3}{\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}}$

Answer 1

分析 先根据多转动一圈时间为t₀，求出卫星的周期；然后再根据开普勒第三定律解得轨道半径．

解答 解：A行星发生最大偏离时，A、B行星与恒星在同一直线上且位于恒星同一侧，设行星B的运行周期为T、半径为R，则有：
$\frac{2π}{{T}_{0}}$t₀-$\frac{2π}{T}$t₀=2π，
所以T=$\frac{{{t}_{0}T}_{0}}{{{t}_{0}-T}_{0}}$，由开普勒第三定律得：$\frac{{R}_{0}^{3}}{{T}_{0}^{2}}$=$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$，
解得：R=R₀$\root{3}{\frac{{{t}_{0}}^{2}}{（{t}_{0}-{T}_{0}）^{2}}}$，
故选：A．

点评 从本题可以看出，通过测量环绕天体的轨道半径和公转周期，可以求出中心天体的质量．