Question

1．一个横截面积为矩形的玻璃水槽，水面面积为4a²，水面上浮着一正立方体木块．木块边长为a，密度为水的$\frac{1}{2}$，质量为m．开始时，木块静止，有一半没入水中，如图所示．现用力F将木块缓慢地压入水中，不计摩擦，求：
（1）木块被下压多少，刚好全部没入水中？
（2）从开始到木块刚好完全没入水中的过程中力F所做的功？

Answer 1

分析 （1）根据木块下压时排开水的体积等于水面上升的体积，列式求解．
（2）取原来水面高度为零势能参考面，木块的重力势能减小，水的重力势能增加，由功能关系求解．

解答 解：（1）设木块浸入水中时，水面上升h₁，木块下降h₂．
则由题意得：
  h₁+h₂=$\frac{1}{2}$a
又有 a²h₂=（4a²-a²）h₁；
解得 h₁=$\frac{1}{8}$a，h₂=$\frac{3}{8}$a
（2）取原来水面高度为零势能参考面（x=0），全过程木块的重力势能减少：△E₂=mgh₂=$\frac{3}{8}$mga
上升到原来水面之上的水的质量：△m=ρa²h₂=$\frac{3}{4}$m
水的重力势能增加：△E₁=△mg•△h=$\frac{3}{4}$mg（$\frac{{h}_{1}}{2}$+$\frac{a}{2}$+$\frac{{h}_{2}}{2}$）=$\frac{9}{16}$mga
根据功能关系可得，力F所做的功 W=△E₁-△E₂=$\frac{3}{16}$mga
答：
（1）木块被下压$\frac{3}{8}$a，刚好全部没入水中．
（2）从开始到木块刚好完全没入水中的过程中力F所做的功是$\frac{3}{16}$mga．

点评 解决本题的关键要搞清物理情景，明确木块下压时水面要上升，且两者变化的体积相等．根据重心高度变化求水的重力势能的变化．