Question

9．2013年12月14日，北京飞行控制中心传来好消息，“嫦娥三号”探测器平稳落月．“嫦娥三号”接近月球表面的过程可简化为三个阶段：一、距离月球表面一定的高度以速度v₀环绕运动，此时，打开推力发动机减速，下降到距月球表面H=100米高处时悬停，寻找合适落月点；二、找到落月点后继续下降，距月球表面h=4m时速度再次减为0；三、此后，关闭所有发动机，使它做自由落体运动落到月球表面．已知“嫦娥三号”着陆时的质量为1200kg，月球表面的重力加速度g′=1.6m/s²，月球半径为R，引力常量为G．求：
（1）月球的质量（用字母g′、R、G表示）；
（2）环绕运行时离月面的高度（用字母g′、R，v₀表示）．
（3）从悬停在100米处到落至月球表面，发动机对“嫦娥三号”做的功．（此过程重力加速度可视为g′=1.6m/s²恒定不变，计算结果保留两位有效数字）

Answer 1

分析 （1）嫦娥三号卫星在月球表面受到的重力等于万有引力，由此求出月球质量．
（2）根据万有引力提供向心力，列出等式求解；
（3）用动能定理可以求出发动机对嫦娥三号做的功．

解答 解：（1）根据在星体表面重力等于万有引力知
m g′=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$，
解得M=$\frac{g{′R}^{2}}{G}$；
（2）“嫦娥三号”距离月球表面一定的高度以速度v₀环绕运动，
$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{（R+h）}$
解得：h=$\frac{g{′R}^{2}}{{v}_{0}^{2}}$-R；
（3）由100m下降过程中到4m前发动机会做功，取100m和4m为初末状态，前后动能没变，
根据动能定理列式    mg′（H-h）+W=0
所以：W=-mg′（H-h）=-1200×1.6×96J=-1.8×10⁵ J    
即发动机做功为-1.8×10⁵ J；
答：（1）月球的质量是$\frac{g{′R}^{2}}{G}$；
（2）环绕运行时离月面的高度是$\frac{g{′R}^{2}}{{v}_{0}^{2}}$-R；
（3）从悬停在100米处到落至月球表面，发动机对“嫦娥三号”做的功是-1.8×10⁵．

点评 本题难度不大，应用万有引力定律、平衡条件、动能定理即可正确解题，注意做功的正负．