Question

如图甲所示，I、Ⅱ两区是垂直于纸面的匀强磁场，磁场的边界相互平行，I区的磁感应强度为B₁，磁场宽度足够大．Ⅱ区的磁感应强度为B₂，磁场宽度为L．两磁场之间匀强电场的宽度为L．一质量为m、电荷量为+q、重力不计的粒子，从Ⅱ区右边界的P点以平行于边界且与磁场垂直的初速度v₀开始运动，以此作为计时起点，竖直向下为电场的正方向，电场随时间做周期性变化的规律如图乙所示．粒子离开Ⅱ区进入电场时，速度恰好与电场方向垂直．再经过一段时间，粒子恰又回到P点，如此循环，粒子循环运动一周，电场恰好变化一个周期．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）请用E₀及已知量表示粒子第一次穿越电场时沿电场方向的偏移量；
（2）若E₀=

4m v 20

3qL

，要实现上述循环，求B₁的大小；
（3）在满足（2）问的条件下，求电场变化的周期．

Answer 1

（1）粒子在电场中运动的时间 t=

L

v0

①
沿电场方向的位移 y=

1

2

at2 ②
y=

qE0L2

2m v 20

③
（2）由题意，粒子离开电场时沿电场方向的速度
v_y=at=

qE

m

?

L

v0

=

4

3

v₀ ④
故粒子进入Ⅰ区磁场时，速度大小 v=

v 20 + v 2y

=

v 20 +( 4 3 v0)2

=

5

3

v₀ ⑤
粒子在电场中沿y方向的位移 y=

1

2

at2=

qE0

2m

t²=

2

3

L ⑥
粒子在Ⅰ区做圆周运动的圆心必须在过P点且与电场垂直的虚线上才能满足要求，由几何关系，有：

L- 2 3 L

v0

=

R

5 3 v0

⑦
得：R=

5

9

L ⑧
由R=

mv

qB1

得：B₁=

mv

qR

=

3mv0

qL

⑨
（3）粒子在Ⅱ区转四分之一圆弧所用的时间 t₁=

1

4

?

2πm

qB2

=

πm

2qB2

粒子在Ⅰ区转37°所用的时间 t₂=

37

360

?

2πm

qB1

=

37πm

180qB1

电场变化的周期 T=2（t₁+t+t₂）=2×（

πm

2qB2

+

L

v0

+

37πm

180qB1

）=

πm

qB2

+

2L

v0

+

37πL

270v0

答：
（1）粒子第一次穿越电场时沿电场方向的偏移量为

qE0L2

2m v 20

；
（2）B₁的大小为

3mv0

qL

；
（3）电场变化的周期为

πm

qB2

+

2L

v0

+

37πL

270v0

．