Question

15．如图所示，在水平向左的匀强电场中，一带电小球用绝缘轻绳（不伸缩）悬于O点，平衡时小球位于A点处于静止状态，此时绳与竖直方向的夹角θ=53°；已知绳长为l，B、C、D到O点的距离均为l，BOD水平，OC竖直，BO=CO=DO=l．
（1）将小球移到D点后，让小球由静止自由释放，求小球首次经过悬点O正下方时的速率．（计算结果可带根号，取sin53°=$\frac{4}{5}$）
（2）再将小球移到B点，给小球一竖直向下的初速度v₀，小球到达悬点O正下方C点时绳中拉力恰等于小球重力，求v₀的大小．

Answer 1

分析 （1）小球从D点由静止自由释放后，沿重力和电场力的合力方向做匀加速直线运动，由几何关系求出小球首次经过悬点O正下方时的位移，根据牛顿第二定律求出加速度，由运动学公式求出速度；
（2）小球从B运动到C的过程中，重力做正功，电场力做负功，根据动能定理和牛顿第二定律结合求解v₀的大小．

解答 解：（1）由题意知小球能平衡于A点，小球受电场力为：
F=qE=mgtanθ
因为θ=53°，所以小球在电场中受电场力为：F=$\frac{4}{3}$mg
小球从D点由静止自由释放后，沿重力和电场力的合力方向做匀加速直线运动直至O点的正下方，位移为：
x=$\frac{l}{sin53°}$=$\frac{5}{4}$l，
加速度为：a=$\frac{\frac{mg}{cos53°}}{m}$=$\frac{5}{3}$g，
所以小球首次经过悬点O正下方某位置时的速率为：
v=$\sqrt{2ax}$=$\frac{5\sqrt{6gl}}{6}$．
（2）小球在最低点时，拉力和重力的合力提供向心力，由题意知小球在最低点时受到绳的拉力恰好等于小球的重力，所以可以判断小球在最低点C时速度恰好为0，即v_C=0，此时拉力与重力平衡．在小球从B到C的过程中，使用动能定理有：
（mg-qE）l=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v₀=$\frac{\sqrt{6gl}}{3}$；
答：（1）小球首次经过悬点O正下方某位置时的速率是$\frac{5\sqrt{6gl}}{6}$．
（2）v₀的大小是$\frac{\sqrt{6gl}}{3}$．

点评 本题关键是确定电场力的大小，再根据动能定理列方程求解，第1问中小球做匀加速直线运动不是圆周运动，要注意运动形式的判断．