Question

20．一个固定在竖直平面内的半径R的圆形外轨，其内部共圆心竖直固定放置一个半径略小于R的半圆，如图所示，在轨道的最低点有一个小球，小球的直径比右半圆管道的内径略小，若在最低点给小球一个向左的初速度，小球到最高点B点时的速度为v₁，小球对轨道的压力等于其重力的$\frac{1}{2}$，若在最低点A点给小球一个向右的速度，小球到最高点B点时，速度为v₂，对管道的压力等于其重力的$\frac{1}{3}$，则v₁：v₂的值可能为（　　）

• A． 3：2
• B． 1：1
• C． 1：$\sqrt{2}$
• D． 3：2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 小球运动到B点时由合力提供向心力，沿管道运动到B点时，小球对管的外壁有压力，也可能对内壁有压力，由牛顿第二定律和向心力公式求解．

解答 解：小球沿外轨运动到B点时，由牛顿第二定律得：$\frac{1}{2}mg+mg=m\frac{v_1^2}{R}$，${v_1}=\sqrt{\frac{3}{2}gR}$．
沿管道运动到B点时，若小球对管的外壁有压力，则有 $\frac{1}{3}mg+mg=m\frac{v_2^2}{R}$，${v_2}=\sqrt{\frac{4}{3}gR}$．
若小球对管的内壁有压力，则有 $mg-\frac{1}{3}mg=m\frac{v_2^2}{R}$，${v_2}=\sqrt{\frac{2}{3}gR}$，因此v₁：v₂的值可能为1：1或3：2$\sqrt{2}$，故A、D正确．
故选：AD

点评 解决本题的关键要掌握圆周运动向心力的来源，要注意管子与细杆类型相似，小球受到的可能是向上的支持力，也可能是向下的压力．