Question

18．光滑的平行金属导轨长L=2m，两导轨间距d=0.5m，轨道平面与水平面的夹角θ=30⁰，导轨上端接一阻值为R=0.6Ω的电阻，轨道所在空间有垂直轨道平面向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度B=IT，如图所示，有一质量m=0.5kg、电阻r=0.4Ω的金属棒ab，放在导轨最上端，其余部分电阻不计．当棒ab从轨道最上端由静止开始下滑到底端脱离轨道时，电阻R上产生的热量Q₁=0.3J，取g=l0m/s²，试求：
（1）当捧的速度v=4m/s时，导体棒的加速度．
（2）棒下滑到轨道最底端时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据切割公式E=BLv求解感应电动势，根据闭合电路欧姆定律求解电流，得到安培力，最后根据牛顿第二定律求解加速度．
（2）棒下滑的过程中，棒减小的机械能转化为内能，根据能量守恒定律列式求解．

解答 解：（1）当捧的速度v=4m/s时，棒中产生的感应电动势为：
 E=Bdv=1×0.5×4V=2V
电路中的电流为：I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{2}{0.6+0.4}$A=2A
棒所受的安培力 F=BId=1×2×0.5N=1N
根据牛顿第二定律有：mgsinθ-F=ma
解得 a=3m/s²．
（2）根据Q=I²Rt得：Q∝R，则$\frac{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}$=$\frac{R}{r}$
棒在下滑的整个过程中金属棒中产生的热量：Q₂=$\frac{r}{R}{Q}_{1}$=0.2J
设棒到达最底端时的速度为v_m，根据能的转化和守恒定律，有：
 mgLsinθ=$\frac{1}{2}$mv_m²+Q₁+Q₂，
得：v_m=3$\sqrt{2}$m/s．
答：
（1）当棒的速度v=4m/s时，导体棒的加速度为3m/s²．
（2）棒下滑到轨道最底端时速度的大小为3$\sqrt{2}$m/s．

点评 本题关键对金属棒正确受力分析，分析清楚其运动过程、应用安培力公式、牛顿第二定律和能量守恒定律等，即可正确解题．