球A以初速度vA=40m/s从地面上一点竖直向上抛出.经过一段时间△t后又以初速度vB=30m/s将球B从同一点竖直向上抛出.为了使两球能在空中相遇.△t取值范围正确的是( )A.3s＜△t＜4sB.0＜△t＜6sC.2s＜△t＜8sD.0＜△t＜8s 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

球A以初速度v_A=40m/s从地面上一点竖直向上抛出，经过一段时间△t后又以初速度v_B=30m/s将球B从同一点竖直向上抛出（忽略空气阻力），为了使两球能在空中相遇，△t取值范围正确的是（　　）

A、3s＜△t＜4s

B、0＜△t＜6s

C、2s＜△t＜8s

D、0＜△t＜8s

分析：首先根据匀变速直线运动的速度时间关系式解出两球落地所需的时间，为了使两球能在空中相遇，我们可以在A球就要落回地面时才抛出B球，则B球会在地面上方与A球迎面相碰；也可以B球抛出后快回到地面时，被A球追上相碰；根据两种极限情况列式求解．

解答：解：设A、B两球在空中运动的时间分别为t_A、t_B，
由竖直上抛运动的速度时间关系式可得：
tA=

2vA

=8s
tB=

2vB

=6s
考虑△t的上限，即A球就要落回地面时才抛出B球，则B球会在地面上方与A球迎面相碰，
故应有：△t＜t_A
考虑△t的下限，即B球抛出后快回到地面时，被A球追上相碰，
故应由：△t＞t_A-t_B
故：2s＜△t＜8s
故选：C

点评：两个球的竖直上抛问题，实际上可以看成是追及问题，根据追及问题来处理．

练习册系列答案

自a点开始水平向右运动，到达b点与小物块B发生正碰，碰撞后A、B粘合在一起不再分离．与此同时，在分界面bb'与分界面cc'之间的空间内附加一水平向左的电场，设小物块AB进入电场时为t=0时刻，电场随时间变化的图象如图乙所示，已知场强E=

＜L＜l0，d点高度为l₀，小物块A、B与水平轨道的动摩擦因数μ=0.5，其余摩擦不计，小物块A、B均视为质点．重力加速度用g表示．求：
（1）小物块A到达b点即将与小物块B碰撞前的速度v_A大小．
（2）自小物块A从a点开始运动到小物块A、B第一次离开电场，试讨论在这个过程中摩擦力对小物块A、B做的总功W_f与L的关系
（3）判断小物块AB能否上滑到cd轨道的d点．

B．如图丙所示，a、b两滑块原来紧靠在一起，静止在水平面上的A点，滑块a、b的质量分别为m、2m，物块与水平地面间的动摩擦因数为0.1，B点为圆轨道的最低点，A、B之间的距离为5R．现在a、b在某种内力的作用下突然分开，a以va=3

的速度由A点开始向B点滑行，并滑上光滑的半径为R的

圆弧BC，在C点正上方有一离C点高度也为R的旋转平台，沿平台直径方向开有两个离轴心距离相等的小孔P、Q，旋转时两孔均能达到C点的正上方．若滑块滑过C点后从P孔上升又恰能从Q孔落下，求
（1）分开后b球获得的速度v_b
（2）滑块a在B点时对轨道的压力；
（3）滑块上升至P点时的速度v_P
（4）平台转动的角速度ω应满足什么条件？

A．如图甲所示，质量为m的不带电绝缘小物块B静止在b点，绝缘水平轨道abc与绝缘光滑圆弧轨道cd平滑连接，d为cd轨道的最高点．质量为m、电量为+q的小物块A以初速度

自a点开始水平向右运动，到达b点与小物块B发生正碰，碰撞后A、B粘合在一起不再分离．与此同时，在分界面bb'与分界面cc'之间的空间内附加一水平向左的电场，设小物块AB进入电场时为t=0时刻，电场随时间变化的图象如图乙所示，已知场强

，

，a、b两点距离为l，电场的宽度为

，d点高度为l，小物块A、B与水平轨道的动摩擦因数μ=0.5，其余摩擦不计，小物块A、B均视为质点．重力加速度用g表示．求：
（1）小物块A到达b点即将与小物块B碰撞前的速度v_A大小．
（2）自小物块A从a点开始运动到小物块A、B第一次离开电场，试讨论在这个过程中摩擦力对小物块A、B做的总功W_f与L的关系
（3）判断小物块AB能否上滑到cd轨道的d点．

B．如图丙所示，a、b两滑块原来紧靠在一起，静止在水平面上的A点，滑块a、b的质量分别为m、2m，物块与水平地面间的动摩擦因数为0.1，B点为圆轨道的最低点，A、B之间的距离为5R．现在a、b在某种内力的作用下突然分开，a以

的速度由A点开始向B点滑行，并滑上光滑的半径为R的

第三部分运动学

第一讲　基本知识介绍

一．基本概念

1．质点

2．参照物

3．参照系——固连于参照物上的坐标系（解题时要记住所选的是参照系，而不仅是一个点）

4．绝对运动，相对运动，牵连运动：v_绝=v_相+v_牵

二．运动的描述

1．位置：r=r(t)

2．位移：Δr=r(t+Δt)－r(t)

3．速度：v=lim_Δt→0Δr/Δt.在大学教材中表述为：v=dr/dt, 表示r对t 求导数

5．以上是运动学中的基本物理量，也就是位移、位移的一阶导数、位移的二阶导数。可是

三阶导数为什么不是呢？因为牛顿第二定律是F=ma,即直接和加速度相联系。（a对t的导数叫“急动度”。）

6．由于以上三个量均为矢量，所以在运算中用分量表示一般比较好

三．等加速运动

v(t)=v₀+at r(t)=r₀+v₀t+1/2 at²

一道经典的物理问题：二次世界大战中物理学家曾经研究，当大炮的位置固定，以同一速度v₀沿各种角度发射，问：当飞机在哪一区域飞行之外时，不会有危险？（注：结论是这一区域为一抛物线，此抛物线是所有炮弹抛物线的包络线。此抛物线为在大炮上方h=v²/2g处，以v₀平抛物体的轨迹。）

练习题：

一盏灯挂在离地板高l₂,天花板下面l₁处。灯泡爆裂，所有碎片以同样大小的速度v 朝各个方向飞去。求碎片落到地板上的半径（认为碎片和天花板的碰撞是完全弹性的，即切向速度不变，法向速度反向；碎片和地板的碰撞是完全非弹性的，即碰后静止。）

四．刚体的平动和定轴转动

1．我们讲过的圆周运动是平动而不是转动

2．角位移φ=φ（t）, 角速度ω=dφ/dt , 角加速度ε=dω/dt

3．有限的角位移是标量，而极小的角位移是矢量

4．同一刚体上两点的相对速度和相对加速度

两点的相对距离不变，相对运动轨迹为圆弧，V_A=V_B+V_AB,在AB连线上

投影：[V_A]_AB=[V_B]_AB,a_A=a_B+a_AB,a_AB=_,aⁿ_AB+_,a^τ_AB,_,a^τ_AB垂直于AB,_,aⁿ_AB=V_AB²/AB

例：A，B，C三质点速度分别V_A，V_B，V_C

求G的速度。

五．课后习题：

一只木筏离开河岸，初速度为V，方向垂直于岸边，航行路线如图。经过时间T木筏划到路线上标有符号处。河水速度恒定U用作图法找到在2T，3T，4T时刻木筏在航线上的确切位置。

五、处理问题的一般方法

（1）用微元法求解相关速度问题

例1：如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D，BC段水平，当以恒定水平速度v拉绳上的自由端时，A沿水平面前进，求当跨过B的两段绳子的夹角为α时，A的运动速度。

（v_A＝）

（2）抛体运动问题的一般处理方法

平抛运动
斜抛运动
常见的处理方法

（1）将斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动

（2）将沿斜面和垂直于斜面方向作为x、y轴，分别分解初速度和加速度后用运动学公式解题

（3）将斜抛运动分解为沿初速度方向的斜向上的匀速直线运动和自由落体运动两个分运动，用矢量合成法则求解

例2：在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为h，若出手时的速度为V₀，求以何角度掷球时，水平射程最远？最远射程为多少？

（α=、 x=）

第二讲运动的合成与分解、相对运动

（一）知识点点拨

力的独立性原理：各分力作用互不影响，单独起作用。
运动的独立性原理：分运动之间互不影响，彼此之间满足自己的运动规律
力的合成分解：遵循平行四边形定则，方法有正交分解，解直角三角形等
运动的合成分解：矢量合成分解的规律方法适用

位移的合成分解 B.速度的合成分解 C.加速度的合成分解

参考系的转换：动参考系，静参考系

相对运动：动点相对于动参考系的运动

绝对运动：动点相对于静参考系统（通常指固定于地面的参考系）的运动

牵连运动：动参考系相对于静参考系的运动

（5）位移合成定理：S_A_对地=S_A_对_B+S_B_对地

速度合成定理：V_绝对=V_相对+V_牵连

加速度合成定理：a_绝对=a_相对+a_牵连

（二）典型例题

（1）火车在雨中以30m/s的速度向南行驶，雨滴被风吹向南方，在地球上静止的观察者测得雨滴的径迹与竖直方向成21^。角，而坐在火车里乘客看到雨滴的径迹恰好竖直方向。求解雨滴相对于地的运动。

提示：矢量关系入图

答案：83.7m/s

（2）某人手拿一只停表，上了一次固定楼梯，又以不同方式上了两趟自动扶梯，为什么他可以根据测得的数据来计算自动扶梯的台阶数？

提示：V人对梯=n1/t1

V梯对地=n/t2

V人对地=n/t3

V人对地= V人对梯+ V梯对地

答案：n=t₂t₃n₁/（t₂-t₃）t₁

(3)某人驾船从河岸A处出发横渡，如果使船头保持跟河岸垂直的方向航行，则经10min后到达正对岸下游120m的C处，如果他使船逆向上游，保持跟河岸成а角的方向航行，则经过12.5min恰好到达正对岸的B处，求河的宽度。

提示：120=V水*600

D=V船*600

答案：200m

（4）一船在河的正中航行，河宽l=100m，流速u=5m/s，并在距船s=150m的下游形成瀑布，为了使小船靠岸时，不至于被冲进瀑布中，船对水的最小速度为多少？

提示：如图船航行

答案：1.58m/s

（三）同步练习

1.一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β₁=30°，另一次安装成倾角为β₂=15°。问汽车两次速度之比为多少时，司机都是看见冰雹都是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖直下落的）

2、模型飞机以相对空气v=39km/h的速度绕一个边长2km的等边三角形飞行，设风速u = 21km/h ，方向与三角形的一边平行并与飞机起飞方向相同，试求：飞机绕三角形一周需多少时间？

3.图为从两列蒸汽机车上冒出的两股长幅气雾拖尾的照片（俯视）。两列车沿直轨道分别以速度v₁=50km/h和v₂=70km/h行驶，行驶方向如箭头所示，求风速。

4、细杆AB长L ，两端分别约束在x 、 y轴上运动，（1）试求杆上与A点相距aL（0＜ a ＜1)的P点运动轨迹；（2）如果v_A为已知，试求P点的x 、 y向分速度v_Px和v_Py对杆方位角θ的函数。

（四）同步练习提示与答案

1、提示：利用速度合成定理，作速度的矢量三角形。答案为：3。

2、提示：三角形各边的方向为飞机合速度的方向（而非机头的指向）；

第二段和第三段大小相同。

参见右图，显然：

v² = + u² － 2v_合ucos120°

可解出 v_合 = 24km/h 。

答案：0.2hour（或12min.）。

3、提示：方法与练习一类似。答案为：3

4、提示：（1）写成参数方程后消参数θ。

（2）解法有讲究：以A端为参照，则杆上各点只绕A转动。但鉴于杆子的实际运动情形如右图，应有v_牵 = v_Acosθ，v_转 = v_A，可知B端相对A的转动线速度为：v_转 + v_Asinθ= 。

P点的线速度必为 = v_相

所以 v_Px = v_相cosθ+ v_Ax ，v_Py = v_Ay － v_相sinθ

答案：（1） + = 1 ，为椭圆；（2）v_Px = av_Actgθ ，v_Py =（1 － a）v_A

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