Question

11．如图所示，长度为L的细绳上端固定在天花板上的O点，下端栓一质量为m的小球，重力加速度为g．当把细绳拉直时，细绳与竖直线夹角θ=60°，此时小球静止在光滑的水平桌面上．求：
（1）当小球以角速度ω₁=$\sqrt{\frac{g}{L}}$做圆锥摆运动时，小球的向心加速度为多大？
（2）当小球对桌面恰好无压力时，做圆锥摆运动的角速度为多大？
（3）当小球以角速度ω₂=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$做圆锥摆运动时，细绳的弹力为多大？

Answer 1

分析 小球对桌面恰好无压力时，由重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解此时小球的角速度．当球做圆锥摆运动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，由重力、水平面的支持力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，求得向心加速度；当根据角速度ω=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$与临界角速度的关系，判断小球是否离开桌面．若小球桌面做圆周运动，再由牛顿第二定律求解细绳的张力T．

解答 解：设小球做圆锥摆运动的角速度为ω₀时，小球对光滑水平面的压力恰好为零，此时球受重力mg和绳的拉力T₀，应用正交分解法则列出方程：
  T₀sinθ=m${ω}_{0}^{2}$Lsinθ    ①
  T₀cosθ-mg=0    ②
由以上二式解得：ω₀=$\sqrt{\frac{2g}{L}}$  ③
（1）ω₁＜ω₀时，所以小球受重力mg，绳的拉力T和水平面的支持力N，应用正交分解法列方程：
  Tsinθ=ma    ④
   Tcosθ+N-mg=0     ⑤
解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{2}g$
（3）ω₂＞ω₀时，小球离开水平面做圆锥摆运动，设细绳与竖直线的夹角为α，由于球已离开水平面，所以球对水平面的压力N′=0．小球受重力mg和细绳的拉力T′，应用正交分解法列方程：
 T′sinα=m${ω}_{2}^{2}$Lsinα ⑥
 T′cosα-mg=0   ⑦
解得：cosα=$\frac{1}{4}$，T′=$\frac{mg}{cosα}$=4mg，
答：（1）当小球以角速度ω₁=$\sqrt{\frac{g}{L}}$做圆锥摆运动时，小球的向心加速度为$\frac{\sqrt{3}g}{2}$
（2）当小球对桌面恰好无压力时，做圆锥摆运动的角速度为$\sqrt{\frac{2g}{L}}$
（3）当球以角速度ω₁=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$做圆锥摆运动时，细绳的张力T为4mg．

点评 本题是圆锥摆问题，分析受力，确定向心力来源是关键，实质是牛顿第二定律的特殊应用