Question

9．如图所示，倾斜传送带与水平方向的夹角θ=37°，以v=1m/s的速度顺时针匀速转动，两轮的大小可忽略，两轮间的距离L=9m，一可视为质点的煤块以大小v₀=11m/s，方向平行于斜面向上的速度从底端滑上皮带，煤块与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，整个过程中煤块质量的变化不计，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）从滑上传送带到第一次速度达到1m/s的过程中，煤块相对传送带通过的路程；
（2）煤块在传送带上运动的总时间．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出滑块向上做匀减速直线运动的加速度大小，结合速度位移公式求出滑块速度第一次达到1m/s时的位移，以及根据速度时间公式求出运动的时间，得出传送带的位移，从而得出相对位移的大小．
（2）根据牛顿第二定律求出速度达到传送带后继续向上滑动的加速度大小，结合速度位移公式求出匀减速运动的位移，根据速度时间公式求出匀减速直线运动的时间，结合返回匀加速直线运动的位移，根据位移时间公式求出返回匀加速运动的时间，从而得出总时间．

解答 解：（1）滑块开始向上做匀减速直线运动的加速度大小为：
${a}_{1}=\frac{mgsin37°+μmgcos37°}{m}$=gsin37°+μgcos37°=6+0.5×8=10m/s²，
则滑块第一次速度达到1m/s时，煤块的位移为：
${x}_{1}=\frac{{{v}_{0}}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{121-1}{20}=6m$，
煤块运动的时间为：
${t}_{1}=\frac{{v}_{0}-v}{{a}_{1}}=\frac{11-1}{10}s=1s$，
此时传送带的位移为：
x₂=vt₁=1×1m=1m，
煤块相对传送带滑动的路程为：
△x=x₁-x₂=6-1m=5m．
（2）速度相等后，煤块继续向上做匀减速直线运动，加速度大小为：
${a}_{2}=\frac{mgsin37°-μmgcos37°}{m}$=gsin37°-μgcos37°=6-4=2m/s²．
煤块匀减速运动到零所需的时间为：
${t}_{2}=\frac{0-v}{{a}_{2}}=\frac{-1}{-2}s=0.5s$，
匀减速运动的位移为：
${x}_{3}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{1}{4}m=0.25m$，
反向做匀加速直线运动的加速度为：
${a}_{3}={a}_{2}=2m/{s}^{2}$，
根据${x}_{1}+{x}_{3}=\frac{1}{2}{a}_{3}{{t}_{3}}^{2}$得：
${t}_{3}=\sqrt{\frac{2（{x}_{1}+{x}_{3}）}{{a}_{3}}}=\sqrt{\frac{2×（6+0.25）}{2}}$s=2.5s，
则煤块在传送带上运动的总时间为：
t=t₁+t₂+t₃=1+0.5+2.5s=4s．
答：（1）从滑上传送带到第一次速度达到1m/s的过程中，煤块相对传送带通过的路程为5m；
（2）煤块在传送带上运动的总时间为4s．

点评 本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，关键理清煤块在传送带上的运动规律，结合运动学公式灵活求解．