Question

19．已知某星体半径为R，自转周期为T₀，其某一轨道半径为r的卫星公转周期为T，引力常量为G，试利用这些信息推导出该星体的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，可以求出星体的质量，再由地球表面的物体受到的重力等于万有引力可求出近地轨道处的重力加速度，从而即可求得第一宇宙速度．

解答 解：卫星所受的万有引力提供向心力，$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
星球表面的物体受到的重力等于万有引力，$\frac{GMm′}{{R}^{2}}$=m′g  
解得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
而该星体的第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{R{T^2}}}}$
答：该星体的第一宇宙速度$\sqrt{\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{R{T^2}}}}$．

点评 解答此题要清楚地球表面的物体受到的重力等于万有引力，地球的同步卫星的万有引力提供向心力，地球近地卫星所受的万有引力提供向心力．