Question

20．2011年3月10日12时58分云南盈江发生了5.8级地震．在抗震救灾中，我国自主研制的“北斗一号“卫星导航系统，在抗震救灾中发挥了巨大作用．北斗导航系统又被称为“双星定位系统“，具有导航、定位等功能．“北斗“系统中两颗工作星均绕地心O做匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的AB两位置 （如图所示）．若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力．则下列判断中正确的是（　　）

• A． 这两颗卫星的加速度大小相等，均为$\frac{{R}^{2}g}{{r}^{2}}$
• B． 卫星1向后喷气就一定能追上卫星2
• C． 卫星1由位置A运动至位置B所需的时间为$\frac{πr}{R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$
• D． 卫星1由位置A运动到位置B的过程中万有引力做功为零

Answer 1

分析 由 $\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$可得出r相同则速度v大小相等，v变大则r变大（做离心运动），再结合 $\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg即GM=gR²（黄金代换），即可求解．

解答 解：A、根据F=ma得，对卫星有
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=ma，
可得a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，取地面一物体由$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
联立解得a=$\frac{{R}^{2}g}{{r}^{2}}$，故A正确．
B、若卫星1向后喷气，则其速度会增大，卫星1将做离心运动，所以卫星1不可能追上卫星2．故B错误
C、根据$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$，
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$…①，
又GM=gR²…②，
t=$\frac{1}{6}$T…③，
联立①②③可解得：t=$\frac{πr}{3R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$，故C错误
D、卫星1由位置A运动到位置B的过程中，由于万有引力始终与速度垂直，故万有引力不做功，故D正确．
故选：AD．

点评 关于做圆周运动的卫星类问题，要灵活运用两个公式$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$以及$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg，注意卫星若加速则做离心运动，减速则做向心运动．