Question

1．匝数为n的圆形线圈半径为b，内接正方形磁形区域EFGH．通过如图（甲）所示的电路连接到平行板电极M、N．两板间的距离为l，电路中连接的电阻阻值为R．当t=0时，一质量为m，电量为q的带正电微粒（不计重力）以初速度v₀从M板垂直射入两板间，微粒和极板接触后不再反弹．已知圆形线圈的电阻为r，导线电阻忽略不计．磁场区域的磁感应强度的变化图线如图乙所示．求：
（1）通过电阻R的电流大小、方向以及R上产生的热量；
（2）微粒在电场作用下的加速度大小和方向；
（3）若微粒最后与M极板碰撞，求电场力做的功（为简化表达，把微粒在电场力作用下的加速度大小为a作已知）．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系确定正方形区域的面积，再根据法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律，及楞次定律与焦耳定律，即可求解；
（2）根据U=IR公式，求得MN两端电压，再结合牛顿第二定律，即可求解加速度大小，再由电场强度方向与电荷的电性，从而确定加速度方向；
（3）根据运动的时间，来分打到与没打到情况，没打到的电场力做功为零，而打到的，根据功的表达式，结合运动学公式，求得位移，从而求解．

解答 解：（1）由几何关系可得，磁场区域的边长为$\sqrt{2}$b，面积S=2b²；
由图象可知，磁感应强度的变化率为：$\frac{△B}{△t}$=$\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}$；
线圈内产生的感应电动势为：E=n$\frac{△∅}{△t}$=n$\frac{△B}{△t}$=$\frac{2n{B}_{0}{b}^{2}}{{t}_{0}}$；
所以通过R的电流为：I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{2n{B}_{0}{b}^{2}}{（R+r）{t}_{0}}$
根据楞次定律可知，感应电流方向：C→D；
由焦耳定律，那么R上产生热量为：Q=I²Rt₀=$\frac{4{n}^{2}R{{B}_{0}}^{2}{b}^{4}}{（R+r）^{2}{t}_{0}}$；
（2）MN两端的电势差为：U=IR=$\frac{2nR{B}_{0}{b}^{2}}{（r+R）{t}_{0}}$
微粒在两板间的加速度为：a=$\frac{qU}{ml}$=$\frac{2nqR{B}_{0}{b}^{2}}{ml（r+R）{t}_{0}}$；
由于微粒带正电，且左极板电势低于右板，因此方向垂直极板向左，
（3）微粒匀减速直到速度为零所用时间为t，则有：t=$\frac{{v}_{0}}{a}$；
①若2t≤t₀，则有电场力做功为零；
②若2t≥t₀，减速直到零的位移为：s₁=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
再在（t₀-t）时间内反向加速的位移为：s₂=$\frac{1}{2}a（{t}_{0}-t）^{2}$；
可得电场力做功为：W=-F（s₁-s₂）=ma$•\frac{1}{2}a（（{t}_{0}-t）^{2}-{t}^{2}）$=$\frac{1}{2}ma{t}_{0}（a{t}_{0}-{v}_{0}）$
答：（1）通过电阻R的电流大小$\frac{2n{B}_{0}{b}^{2}}{（R+r）{t}_{0}}$、方向C→D以及R上产生的热量$\frac{4{n}^{2}R{{B}_{0}}^{2}{b}^{4}}{（R+r）^{2}{t}_{0}}$；
（2）微粒在电场作用下的加速度大小$\frac{2nqR{B}_{0}{b}^{2}}{ml（r+R）{t}_{0}}$ 和方向垂直极板向左；
（3）电场力做的功为零，或$\frac{1}{2}ma{t}_{0}（a{t}_{0}-{v}_{0}）$．

点评 考查电学与力学综合问题，掌握法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、焦耳定律与楞次定律的应用，理解牛顿第二定律与运动学公式的运用，注意第3问中，分情况讨论是解题的重点，也是关键点．