Question

11．一绝缘轨道由一段足够长的水平光滑的直杆MN和一半径为R的光滑半圆环MAP组成，固定在竖直平面内．现将一质量为m的带正电荷的小环套在MN杆上，由D点静止释放，刚好能到达P点．已知小环所受的电场力为重力的 $\frac{1}{2}$．

（1）求DM间的距离．
（2）小环运动到A点受到轨道的支持力．
（3）若将小环由M点右侧Q处静止释放，小环从P处射出后第一次落点在水平直杆MN上，求Q点距M点额最近距离．

Answer 1

分析 （1）小球刚好到达P点时，速度为零，对小球从D点到P点过程，运用动能定理列式求得．
（2）根据动能定理求出A点的速度，结合径向的合力提供向心力求出弯杆对小环的作用力大小．
（3）由水平向与竖直向分别进行分析求解．

解答 解：（1）小球刚好到达P点时，速度为零，对小球从D点到P点过程，由动能定理得
   qEx-2mgR=0-0
  又由题意，qE=$\frac{1}{2}$mg
   联立解得，x=4R
（2）从P到A点，由动能定理得：$qER+mgR=\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
在A点，由牛顿第二定律得：$N-qE=\frac{m{v}_{A}^{2}}{R}$  
得：N=$\frac{7}{2}mg$
（3）在水平向为匀减速运动，x=v₀t+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=v₀t+（-$\frac{1}{2}g$）t² 刚好落到M点时，x=0=v₀t+（-$\frac{1}{2}g$）t² 
　　　         竖直向为自由落体，2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
　     　解得：${v}_{0}=\sqrt{gR}$
  高Q点到M点的距离为L，则由动能定理：EqL-mg2R=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$  可得：L=5R
答：（1）DM间的距离为4R．
（2）小环运动到A点受到轨道的支持力为$\frac{7}{2}mg$．
（3）Q点距M点额最近距离为5R

点评 对于动能定理应用，要灵活选取研究过程，结合临界条件进行研究是常用的思路．