Question

3．如图所示，传送带以一定速度沿水平方向匀速运动，将质量m=1.0kg的小物块轻轻放在传送带上的P点，物块运动到A点后被水平抛出，小物块恰好无碰撞地沿圆弧切线从B点进入竖直光滑圆弧轨道下滑．B、C为圆弧的两端点，其连线水平，轨道最低点为O，已知圆弧对应圆心角θ=106°，圆弧半径R=1.0m，A点距水平面的高度h=0.8m，小物块离开C点后恰好能无碰撞地沿固定斜面向上滑动，经过 0.8s小物块经过D点，已知小物块与斜面间的动摩擦因数μ=$\frac{1}{3}$（取sin53°=0.8，g=10m/s²）求：
（1）小物块离开A点时的水平速度大小；
（2）小物块经过O点时，轨道对它的支持力大小；
（3）斜面上C、D间的距离．

Answer 1

分析 （1）小物块离开A点后做平抛运动，根据末速度的末速度的方向与竖直下落高度求水平初速度的大小；
（2）根据牛顿第二定律和动能定理求解轨道对小物块的支持力；
（3）根据动能定理求解斜面CD间距离．

解答 解：（1）对小物块，由A到B做平抛运动，在竖直方向上有：${v}_{y}^{2}=2gh\\;\\;\\;\\;①$…①
在B点是有：$tan\frac{θ}{2}=\frac{{v}_{y}}{{v}_{A}}$…②
由①②两式代入数据解得：v_A=3 m/s…③
（2）对小物块，由A到O由动能定理得：
mg[h+R（1-sin37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$…④
在O点由牛顿第二定律有：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…⑤
由③④⑤代入数据可解得：F_N=43 N
（3）物块沿斜面上滑时mgsin53°+μ₁mgcos53°=ma₁…⑥
解得小物块上滑时的加速度为：a₁=gisn53°+μgcos53°=10m/s²
v_C=v_B=5 m/s               
小物块由C上升到最高点历时为：${t}_{1}=\frac{{v}_{c}}{{a}_{1}}=0.5s$ 
则小物块由斜面最高点回到D点历时为：t₂=0.8 s-0.5 s=0.3 s
小物块沿斜面下滑时有：mgsin53°-μmgcos53°=ma₂ 
解得：${a}_{2}=gsin53°-μgcos53°=6m/{s}^{2}$
故CD距离为：${x}_{CD}=\frac{{v}_{C}}{2}{t}_{1}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}=0.98m$
答：（1）小物块离开A点时的水平速度大小为3m/s；
（2）小物块经过O点时，轨道对它的支持力大小为43N；
（3）斜面上C、D间的距离为0.98m．

点评 本题是平抛运动与圆周运动及动力学问题的综合，解决问题的关键是掌握相关基础知识，分过程处理．