Question

11．如图所示，水平传送带AB的长度L=3.75m，皮带轮的半径R=0.1m．现有一个小物体（可视为质点）以水平速度v₀从A点滑上传送带，物体与传送带间动摩擦因素μ=0.2，传送带上表面距地面高度h=5m，g取10m/s²，试讨论以下问题：
（1）若皮带静止，要使小物体滑到B端后做平抛运动，则小物体滑上A的初速度v₀至少为多少？
（2）若皮带以角速度ω=40rad/s顺时针匀速转动，小物体滑上A的初速度v₀=3m/s，求小物体由A到B的时间和落地点到B的水平距离
（3）若皮带以角速度ω=40rad/s顺时针匀速转动，求v₀满足什么条件时，小物块均落在地面上的同一点．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出在B点恰好做平抛运动时的速度，结合牛顿第二定律和速度位移公式求出小物块滑上A点的最小初速度．
（2）根据小物块和传送带的速度大小关系确定小物块的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式求出小物块的运动时间，根据平抛运动的规律求出水平位移．
（3）抓住小物块一直做匀加速运动或一直做匀减速运动，根据匀变速直线运动的速度位移公式求出v₀满足的条件．

解答 解：（1）若皮带静止，小物体在皮带上滑动的加速度为a，则：μmg=ma，
要使小物块在B点开始做平抛运动，则小物体在B点开始时对皮带压力为0，即：$mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$ 解得：v_B=$\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.1}=1m/s$    
又 v₀²-v_B²=2aL     
代入数据解得：v₀=4m/s
（2）若皮带轮以角速度ω=40rad/s顺时针匀速转动，皮带的速度v=Rω=4m/s＞v₀
小物体刚在皮带上滑动时加速，加速度为：a=μg=2m/s²
加速时间  匀加速运动的时间${t_1}=\frac{{v-{v_0}}}{a}=0.5s$
加速位移${x}_{1}=\frac{{v}_{0}+v}{2}t=\frac{3+4}{2}×0.5=1.75m$＜3.75m
然后匀速，时间为t₂，则${t}_{2}=\frac{L-{x}_{1}}{v}=\frac{3.75-1.75}{4}=0.5s$
小物体由A点运动到B点的时间 t=t₁+t₂=0.5+0.5s=1s．
平抛时竖直方向 h=$\frac{1}{2}g{t}_{3}^{2}$，解得：t3=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×5}{10}}=1s$，水平方向：s=vt₃        
代入数据解得：s=4×1=4m．
（3）对于平抛运动，h一定，下落的时间t一定
要保证落到同一点，就需要从B点平抛出来的初速度都相等，且等于4m/s
A、当v₀比较小，A到B一直加速刚好到B点速度等于传送带速度v=4m/s
因为运动中摩擦力提供合外力，故a的大小是2m/s²
根据$v_B^2-v_{01}^2=2aL$可得：v₀₁=1m/s
B、当v₀比较大，A到B一直减速刚好到B点速度等于传送带速度v=4m/s
因为运动中摩擦力提供合外力，故a的大小是2m/s²，但是负值
根据$v_B^2-v_{02}^2=2aL$可得：${v}_{02}=\sqrt{31}m/s$
所以v₀满足的条件是$1m/s≤{v_0}≤\sqrt{31}m/s$
答：（1）小物体滑上A点的初速度v₀至少为4m/s．
（2）小物体由A点运动到B点的时间为1s，落地点到B的水平位移为4m．
（3）当$1m/s≤{v_0}≤\sqrt{31}m/s$时，小物块均落在地面上的同一点

点评 解决本题的关键理清小物块在传送带上的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，难度中等．