Question

如图所示，A、B两行星在同一平面内绕同一颗恒星运动，运动的方向相同，A、B两行星的轨道半径分别为r₁、r₂，已知恒星的质量为M，且恒星对两行星的引力远远大于两行星间的引力，两行星的轨道半径r₁＜r₂，若在某一时刻两行星相距最近，试求：
（1）经多长时间两行星相距最近？
（2）经多长时间两行星相距最远？

Answer 1

（1）
（2）

（1）设经过时间A、B两行星转过的角度分别是和，则两行星相距最近的条件是：-                    
又因为恒星对行星万有引力提供向心力，则， 
即对A、B两行星则有：
由此可得：。     
（2）如果经过时间，A、B两行星处于同心圆的同一条直线上，则A、B两星必然相距最远，
A、B二星各自转过的角度之差必为的奇数倍，即-
代入、，的值可得：