Question

14．同步加速器在粒子物理研究中有重要的作用，其基本原理简化为如图所示的模型．M、N为两块中心开有小孔的平行金属板，质量为M、电荷量为+q的粒子A（不计重力）从M板小孔飘入板间，初速度可视为零．每当A进入板间，两板的电势差变为U，粒子到加速，当A离开N板时，两板的电荷量均立即变为零，两板外部存在垂直纸面向里的匀强磁场，A在磁场作用下做半径为R的圆周运动，R远大于板间距离，不计粒子加速时间及其做圆周运动的电磁辐射，不考虑磁场变化对粒子速度的影响及相对论效应，求
（1）A经过电场第1次加速后获得的速度v₁大小；
（2）A运动第1周时磁场的磁感应强度B₁的大小；
（3）A经电场多次加速，动能不断增大，为使R不变，磁场必须相应的变化，请写出经过n次加速后磁感应强度B_n的大小．

Answer 1

分析 同步加速器与课本的回旋加速器结构不同，运动过程也不同，对器材的要求也更高，从计算中可以看出来．
（1）由动能定理直接可以求出A粒子经电场第一次加速的速度大小．
（2）由洛仑兹力产生向心力即牛顿第二定律列式就能求出运动第一周时的磁感应强度大小．
（3）经电场n次加速后，速度增加，但又要保持做匀速圆周运动半径不变，所以磁感应强度也要增加，只是求n次加速后的速度，可以把n次电场力做的功合为一整体，即nqU，由动能定理求出n次加速的速度，同样道理再求出第n周做匀速圆周运动时所需要的磁感应强度．

解答 解：（1）A粒子在电场中做匀加速直线运动，由动能定理得：
  $qU=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
  解得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）A粒子在磁场中做错匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
  $q{v}_{1}{B}_{1}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
  解得：${B}_{1}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
（3）由于粒子不断加速，但半径不变，所以磁感应强度相应要变化，在
  经过n次加速后，由动能定理：
  $nqU=\frac{1}{2}m{{v}_{n}}^{2}$
  再由洛仑兹力提供向心力得：
  $q{v}_{n}{B}_{n}=m\frac{{{v}_{n}}^{2}}{R}$ 
  解得：${B}_{n}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2nmU}{q}}$
答：（1）A经过电场第1次加速后获得的速度v₁大小为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$．
（2）A运动第1周时磁场的磁感应强度B₁的大小为$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$．
（3）A经电场多次加速，为使R不变，磁场必须相应的变化，经过n次加速后磁感应强度B_n的大小为$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2nmU}{q}}$．

点评 本题没什么新意，只是反复利用动能定理和牛顿第二定律列式，求出最初和n次加速后相同半径下做匀速圆周运动所需的磁感应强度．但想强调的是这种同步加速器与回旋加速器在构造上和运动过程上区别，前者半径不变而磁感应强度不断增加、加速电场不变，后者加速电场不断变向，磁感应强度不变、运动半径不断增大，但最终有一个最大值．