Question

9．经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体组成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当做孤立系统来处理．现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．试求：
（1）该双星系统的运动周期；
（2）若该实验中观测到的运动周期为T_观测，且T_观测：T_计算=1：$\sqrt{N}$（N＞1）．
为了理解T_观测与T_计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质．作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这种暗物质．若不考虑其他暗物质的影响，根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．

Answer 1

分析 （1）根据对称性可知，两颗星都绕系统中心做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列式求解；
（2）暗物质引力和星星引力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解出暗物质的质量，再求解密度．

解答 解：（1）双星均绕它们连线的中点做匀速圆周运动，其运动的周期为T_计算，由万有引力提供向心力，则有：
G$\frac{{M}^{2}}{{L}^{2}}$=M•（$\frac{2π}{{T}_{计算}}$）²•$\frac{L}{2}$；
解得：T_计算=πL$\sqrt{\frac{2L}{GM}}$；
（2）根据观测结果，星体的运动周期为：T_观测=$\frac{1}{\sqrt{N}}$T_计算（N＞1）．
这种周期差异是由于双星间均匀分布的暗物质引起的．均匀分布双星系统内的暗物质对双星系统的作用，与一个质点（质点的质量等于球内暗物质的总质量M′且位于中点O处）的作用相同，考虑暗物体作用后双星系统的运动周期即为观测到的周期T_观测，则有：
G$\frac{{M}^{2}}{{L}^{2}}$+G$\frac{MM′}{（\frac{L}{2}）^{2}}$=M•（$\frac{2π}{{T}_{观测}}$）²•$\frac{L}{2}$；
代入T_计算=πL$\sqrt{\frac{2L}{GM}}$，并整理得：M′=$\frac{N-1}{4}$M；
设所求暗物质的密度为ρ，则有：
ρ=$\frac{M′}{\frac{4}{3}π（\frac{L}{2}）^{3}}$=$\frac{3（N-1）M}{2π{L}^{3}}$；
答：（1）该双星系统的运动周期T_计算为πL$\sqrt{\frac{2L}{GM}}$；
（2）该星系间这种暗物质的密度为$\frac{3（N-1）M}{2π{L}^{3}}$．

点评 本题关键找出向心力来源，知道双星的向心力来自相互的万有引力，然后根据牛顿第二定律和向心力公式列方程研究．