Question

如图，在xOy坐标中第Ⅰ和第Ⅳ象限中分布着平行于x轴的匀强电场，第Ⅳ象限的长方形OPQH区域内还分布着垂直坐标平面的、大小可以任意调节的匀强磁场．一质子从y轴上的a点射入场区，然后垂直x轴通过b点，最后从y轴上的c点离开场区．已知：质子质量为m、带电量为q，射入场区时的速率为v₀，通过b点时的速率为

2

2

v0，

.

OP

=2

.

Oa

=2d，

.

OH

=

3

2

.

Ob

=

2

3

d
（1）在图中标出电场和磁场的方向；
（2）求：电场强度E的大小以及c到坐标原点的距离

.

Oc

；
（3）如果撤去电场，质子仍以v₀从a点垂直y轴射入场区．试讨论质子可以从长方形OPQH区域的哪几条边界射出场区，并求从这几条边界射出时对应磁感应强度B的大小范围和质子转过的圆心角θ的范围．

Answer 1

分析：（1）质子从a到b洛伦兹力不做功，只有电场力做功，由于动能减少，电场力做负功，所以电场沿x轴负方向．依题意质子的运动轨迹从a到b，根据曲线运动的条件和左手定则可判断磁场方向垂直纸面向里．
（2）质子从a到b，洛伦兹力不做功，仅电场力做功．由动能定理求解电场强度E．质子从b到c，做类平抛运动，水平方向做匀加速运动，竖直方向做匀速直线运动，由牛顿第二定律和运动学公式求解

.

Oc

；
（3）质子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得到半径R．再讨论质子将从HQ边射出、从OH边射出、从Oa边射出时半径满足的半径，得到B的大小范围．由几何关系求解圆心角θ的范围．

解答：解：（1）质子从a到b洛伦兹力不做功，只有电场力做功，由于动能减少，电场力做负功，所以电场沿x轴负方向．依题意质子的运动轨迹从a到b，根据曲线运动的条件和左手定则可判断磁场方向垂直纸面向里．故电场方向指向x轴负方向；磁场方向垂直纸面向里．
（2）质子从a到b，洛伦兹力不做功，仅电场力做功．由动能定理得：
  -qE?

.

Ob

=-qE?

4d

9

=

1

2

m?(

2

2

v0)2-

1

2

m

v

2 0

…①
得：E=

9m v 2 0

16qd

…②
质子从b到c，做类平抛运动，设运动时间为t，
则：

.

Oc

=

2

2

v0t…③

.

Ob

=

1

2

at2=

1

2

qE

m

t2…④
联立②、③、④得：

.

Oc

=

8

9

d…⑤
（3）质子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，设做圆周运动的半径R，则
   qBv0=

m v 2 0

R

…⑥
即：R=

mv0

qB

⑦
讨论：
（i）如图，当R＞

.

OH

=

2

3

d时，质子将从HQ边射出，此时：0＜B＜

3mv0

2qd

，0＜θ＜

π

2

  ⑧
（ii）当

.

OH

=

2

3

d≥R≥

1

2

.

Oa

=

1

2

d时，质子将从OH边射出，此时：

3mv0

2qd

≤B≤

2mv0

qd

，π≥θ≥

2

3

π⑨
（iii）当R＜

1

2

.

Oa

=

1

2

d时，质子将从Oa边射出，此时：B＞

2mv0

qd

，θ=π⑩
答：（1）电场方向指向x轴负方向；磁场方向垂直纸面向里．
（2）电场强度E的大小为

9m v 2 0

16qd

，c到坐标原点的距离

.

Oc

等于

8

9

d；
（3）（i）当R＞

.

OH

=

2

3

d时，质子将从HQ边射出，此时：0＜B＜

3mv0

2qd

，0＜θ＜

π

2

．
（ii）当

.

OH

=

2

3

d≥R≥

1

2

.

Oa

=

1

2

d时，质子将从OH边射出，此时：

3mv0

2qd

≤B≤

2mv0

qd

，π≥θ≥

2

3

π．
（iii）当R＜

1

2

.

Oa

=

1

2

d时，质子将从Oa边射出，此时：B＞

2mv0

qd

，θ=π．

点评：本题根据洛伦兹力不做功，只有电场力做功，判断电场力方向，确定电场的方向．粒子在电场中做类平抛运动，运用运动的分解法研究．粒子在磁场中通过画轨迹，分析半径的范围．