如图所示.半径为r=1.2m的$\frac{1}{4}$圆形光滑轨道AB固定于竖直平面内.轨道与粗糙的水平地面相切于B点.CDE为固定于竖直平面内的一段内壁光滑的中空方形细管.DE段被弯成以O为圆心.半径R=0.8m的一小段圆弧.管的C端弯成与地面平滑相接.O点位于地面.OE连线竖直．可视为质点的物块b.从A点由静止开始沿轨道下滑.经地面进入细管(b横截面略小于管中空� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．

如图所示，半径为r=1.2m的$\frac{1}{4}$圆形光滑轨道AB固定于竖直平面内，轨道与粗糙的水平地面相切于B点，CDE为固定于竖直平面内的一段内壁光滑的中空方形细管，DE段被弯成以O为圆心，半径R=0.8m的一小段圆弧，管的C端弯成与地面平滑相接，O点位于地面，OE连线竖直．可视为质点的物块b，从A点由静止开始沿轨道下滑，经地面进入细管（b横截面略小于管中空部分的横截面），b滑到E点时受到细管下壁的支持力大小等于所受重力的$\frac{1}{2}$．已知物块b的质量m=1.0kg，g取10m/s²．
（1）求物块b滑过E点时的速度大小v_E．
（2）求物块b滑过地面BC过程中克服摩擦力做的功W_f．
（3）若将物块b静止放在B点，让另一可视为质点的物块a，从A点由静止开始沿轨道下滑，滑到B点时与b发生弹性正碰，已知a的质量M≥m，求物块b滑过E点后在地面的首次落点到O点的距离范围．

分析（1）由牛顿第二定律可以求出物体的速度．
（2）由动能定理可以求出克服摩擦力做功．
（3）碰撞过程系统动量守恒，应用动量守恒定律、机械能守恒定律与平抛运动规律可以求出落地点范围．

解答解：（1）物块b滑过E点时重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：mg-N=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$，
已知：N=$\frac{1}{2}$mg，
解得：v_E=2m/s；
（2）物块b从A点到E点的过程中，
由动能定理得：mg（r-R）-W_f=$\frac{1}{2}$mv_E²，
解得：W_f=2J；
（3）物块a从A滑到B的过程机械能守恒，设物块a滑到B点时速度为v，则有：$\frac{1}{2}$Mv²=Mgr，
代入数据解得：v=2$\sqrt{6}$m/s，
设碰撞后物块a、b的速度分别为v_a、v_b，碰撞过程由动量守恒，以M的速度反效果为正方向：
Mv=Mv_a+mv_b，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$Mv²=$\frac{1}{2}$Mv_a²+$\frac{1}{2}$mv_b²，
代入数据解得：v_a=$\frac{2M}{M+m}$v=$\frac{2v}{1+\frac{m}{M}}$，
因为M≥m，由上式可知，
碰撞后v≤v_b＜2v，即2$\sqrt{6}$m/s≤v_b＜4$\sqrt{6}$m/s，
物块b从B点到E点的过程中，由动能定理得：
-mgR-W_f=$\frac{1}{2}$mv_E′²-$\frac{1}{2}$mv_b²，
物块b离开E点后做平抛运动，设时间为t，首次落点到O点的距离为x，
则有：x=v_E′t，R=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：0.8m≤x＜3.48m；
答：（1）物块b滑过E点时的速度大小v_E为2m/s．
（2）物块b滑过地面BC过程中克服摩擦力做的功W_f为2J．
（3）物块b滑过E点后在地面的首次落点到O点的距离范围是0.8m≤x＜3.38m．