题目内容

20．如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R，下端固定的轻质弹簧．投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去．设质量为m的鱼饵到达管口C时，对管壁的作用力恰好为零，不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能．已知重力加速度为g．求：
（1）质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v1；
（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能Ep；
（3）已知地面与水面相距1.5R，若使该投饵管绕AB管的中轴线OO′在90°角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在$\frac{2}{3}$m到m之间变化，且均能落到水面，持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S是多少？

分析 （1）鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供，有牛顿第二定律列出向心力的方程，速度可求．
（2）不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，所以鱼饵增加的机械能都是弹簧做功的结果，由功能关系知道弹簧具有的弹性势能等于鱼饵增加的机械能．
（3）分别求出质量是m和$\frac{2}{3}$m的鱼饵离开C时的速度，再利用平抛运动规律求出落到水平面到转轴之间的距离，转轴转过90°时，鱼饵在水平面形成两个$\frac{1}{4}$圆面积，中间夹的环形面积即为所求．

解答 解：（1）质量为m的鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力，完全由重力提供，则
   mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$…①
由①式解得：v1=$\sqrt{gR}$…②
（2）从弹簧释放到最高点C的过程中，弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由系统的机械能守恒定律有
   Ep=mg（1.5R+R）+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$…③
由②③式解得：Ep=3mgR…④
（3）不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响，质量为m的鱼饵离开管口C后做平抛运动，
设经过t时间落到水面上，离OO'的水平距离为x1，由平抛运动规律有：
   4.5R=$\frac{1}{2}$gt2…⑤
   x1=v1t+R…⑥
由⑤⑥式解得：x1=4R…⑦
当鱼饵的质量为$\frac{2}{3}$m时，设其到达管口C时速度大小为v2，由机械能守恒定律得：
  Ep=$\frac{2}{3}$mg（1.5R+R）+$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{3}$m）${v}_{2}^{2}$…⑧
由④⑧式解得：v2=2$\sqrt{gR}$…⑨
质量为$\frac{2}{3}$m的鱼饵落到水面上时，设离OO'的水平距离为x2，则
   x2=v2t+R…⑩
由⑤⑨⑩式解得：x2=7R
鱼饵能够落到水面的最大面积 S=$\frac{1}{4}$（π${x}_{2}^{2}$-π${x}_{1}^{2}$）=$\frac{33}{4}$πR2（或8.25πR2）
答：
（1）鱼饵到达管口C时的速度大小v1为$\sqrt{gR}$；
（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能Ep是3mgR；    
（3）鱼饵能够落到水面的最大面积S是8.25πR2．

点评 本题的关键要理清鱼饵的运动情况，把握能量的转化情况，知道转轴转过90°鱼饵在水平面上形成圆周是解决问题的关键．

练习册系列答案
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