题目内容
5．
如图，在竖直平面内有由$\frac{1}{4}$$\widehat{AB}$和$\frac{1}{2}$$\widehat{BC}$组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．$\widehat{AB}$的半径为R，$\widehat{BC}$的半径为$\frac{R}{2}$．一小球在A点正上方与A相距$\frac{R}{4}$处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．求：（1）小球在B、A两点的速度大小之比；
（2）小球运动到C点时对轨道的压力．
分析 （1）根据机械能守恒定律分别求出小球经过B点和A点的速度大小，再得到它们的比值．
（2）由机械能守恒定律求出小球到达C点的速度．在C点，由合力提供向心力，由牛顿定律求解即可．
解答 解：（1）根据机械能守恒定律，
从下落到A点的过程，有：$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=mg$\frac{R}{4}$，得：vA=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
从下落到B点的过程，有：$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=mg（R+$\frac{R}{4}$），得：vB=$\sqrt{\frac{5}{2}gR}$
则得小球在B、A两点的速度之比 vB：vA=$\sqrt{5}$：1．
（2）从下落到C的过程，由机械能守恒定律得：
mg$\frac{R}{4}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$，
得：vC=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
在C点，由牛顿第二定律得：N+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{\frac{R}{2}}$
解得：N=0
由牛顿第三定律知，小球运动到C点时对轨道的压力为0．
答：（1）小球在B、A两点的速度之比为$\sqrt{5}$：1．
（2）小球运动到C点时对轨道的压力为0．
点评 分析清楚小球的运动过程，抓住轨道光滑时往往小球的机械能守恒，要把握圆周运动向心力的来源：指向圆心的合力．
练习册系列答案
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20．
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