Question

6．如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E．一质量为m，电量为-q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出．射出以后，它第三次到达x轴时，与点O的距离为L．不计粒子重力，求：
（1）粒子射出时的速度v
（2）粒子从射出以后第三次到达x轴所用的总时间
（3）若粒子从射出以后到第n次向下穿过x轴所用的总时间为t_n，写出t_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直进入匀强磁场，受洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，在电场中受到电场力，做往复运动，即匀减速运动到零再返回．作出粒子运动的轨迹，结合轨道半径求出粒子在磁场中运动的速度．
（2）由牛顿第二定律和运动学公式结合求出电场中运动时间，根据圆周运动的周期求解磁场中的运动时间，即可 得到总时间．
（3）根据归纳法，寻找规律，得到时间的表达式．

解答 解：（1）粒子在匀强磁场中，靠洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动（半周）．

粒子在电场中，受电场力，做往复运动，匀减速到零后匀加速返回．
运动轨迹如图，因为第三次到达x轴时，它与点O的距离为a，则有：L=4R
设粒子初速度为v，洛伦兹力提供向心力，有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得：v=$\frac{BqL}{4m}$
（2）粒子在电场作匀减速运动，加速度为a=$\frac{qE}{m}$
运动时间为 t₁=$\frac{2v}{a}$=$\frac{BL}{2E}$
粒子在磁场中运动时间是一个周期，为 t₂=T=$\frac{2πm}{Bq}$
故t=$\frac{2πm}{Bq}$+$\frac{BL}{2E}$
（3）粒子从射出以后到第n次向下穿过x轴时，磁场中运动时间为 n$•\frac{T}{2}$
电场中运动时间为 （n-1）t₁；
故总时间为 t_n=n$•\frac{T}{2}$+（n-1）t₁=$\frac{nπm}{Bq}$+$\frac{（n-1）BL}{2E}$，n=1，2，3，…
解：
（1）粒子射出时的速度v为$\frac{BqL}{4m}$．
（2）粒子从射出以后第三次到达x轴所用的总时间为$\frac{2πm}{Bq}$+$\frac{BL}{2E}$．
（3）t_n的表达式为 t_n=$\frac{nπm}{Bq}$+$\frac{（n-1）BL}{2E}$n=1，2，3，…

点评 解决本题的关键知道粒子在电场和磁场中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解，注意第三次到达x轴时，在磁场中形成两个半圆，容易误认为形成三个半圆．