Question

假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（　　）

A．1- d R

B．1+ d R

C．( R-d R )2

D．( R R-d )2

Answer 1

令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g=G

M

R2

，由于地球的质量为：M=ρ

4

3

πR3，所以重力加速度的表面式可写成：
g=

GM

R2

=G

ρ 4 3 πR3

R2

=

4

3

GρπR．
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（R-d）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度g′=

4

3

Gρπ(R-d)
所以有

g′

g

=

4 3 Gρπ(R-d)

4 3 GρπR

=

R-d

R

=1-

d

R

故选A．