Question

11．如图所示，一倾角为θ=45°的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度h₀=1m，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板，在斜面顶端自由释放一质量m=0.09kg的小物块（视为质点），小物块与斜面之间的动摩擦因数μ=0.2，当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回．重力加速度g取10m/s²．求：
（1）小物块在斜面上运动的总路程．
（2）在小物块与挡板的前3次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？

Answer 1

分析 （1）由于有摩擦存在，物块下滑的过程中机械能不断损失，所以最终小物块停在挡板上，对整个过程，运用动能定理可求得小物块运动的总路程；
（2）根据动能定理求解出第一次碰撞后上升的高度和返回后的速度；根据动量定理得到第二次碰撞过程的冲量；发现规律，可得出前3次碰撞过程中总的冲量

解答 解：（1）设小物块在斜面上运动的总路程为s．对全程，由动能定理有：
mgh₀-μmgcosθs=0
代入数据解得：s=5$\sqrt{2}$m≈7.07m；
（2）设小物块从高为h₀处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v．由功能关系得：
mgh₀=$\frac{1}{2}$mv²+μmgcosθ•$\frac{{h}_{0}}{sinθ}$
导入数据解得：v=4m/s
以沿斜面向上为动量的正方向．由动量定理，第1次碰撞过程中挡板给小物块的冲量为：
I=mv-m（-v）
设碰撞后小物块所能达到的最大高度为h′，则有：
$\frac{1}{2}$mv²=mgh′=μmgcosθ$\frac{h′}{sinθ}$
同理，有：mgh′=$\frac{1}{2}$mv′²+μmgcosθ$\frac{h′}{sinθ}$
第2次有：I′=mv′-m（-v′）
式中，v′为小物块第2次到达斜面底端时的速度，I′为第2次碰撞过程中挡板给小物块的冲量．联立可得：
I′=KI  
式中 k=$\sqrt{\frac{tanθ-μ}{tanθ+μ}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$ 
第n次碰撞后，给挡板的冲量为：I_n=kⁿI₁
由此可知，小物块前3次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为：
I₁=2m$\sqrt{2g{h}_{0}（1-μcotθ）}$
总冲量为：
I=I₁+I₂+I₃=I₁（1+k+k²）
由   1+k+k²=$\frac{1-{k}^{3}}{1-k}$=$\frac{5+\sqrt{6}}{3}$
联立代入数据得：I=0.24（5+$\sqrt{6}$）N•s≈1.79N•s  
答：（1）小物块在斜面上运动的总路程为7.07m；
（2）在小物块与挡板的前3次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是为1.79N•s．

点评 本题关键是分析清楚物体的运动规律，然后根据动能定理、动量定理列式求解出总冲量，最后化解出最简形式．注意数学归纳法的正确应用．