Question

12．在直角坐标系xOy中，第一象限内存在沿y轴负方向的有界电场，其中的两条边界分别与Ox、Oy重合，电场强度大小为E．在第二象限内有垂直纸面向里的有界磁场（图中未画出），磁场边界为矩形，其中的一个边界与y轴重合，磁感应强度的大小为B．一质量为m，电量为q的正离子，从电场中P点以某初速度沿-x方向开始运动，经过坐标（0，L）的Q点时，速度大小为v_Q=$\frac{BqL}{3m}$，方向与-y方向成30°，经磁场偏转后能够返回电场，离子重力不计．求：
（1）正离子在P点的初速度；
（2）矩形磁场的最小面积；
（3）离子在第二象限中运动的最长时间．

Answer 1

分析 （1）正离子在P点的初速度等于Q点水平方向的分速度；
（2）先根据牛顿第二定律求出离子在矩形磁场中圆周运动的半径，根据离子在矩形磁场中的偏转角确定矩形矩形区域的最小宽度，即可求得面积；
（3）磁场区域下移，离子在磁场偏转的圆心角增大，运动时间变长．

解答 解：（1）离子在从P到Q在电场力作用下做类平抛运动：
由于：${v}_{Q}=\frac{BqL}{3m}$
所以：${v}_{0}={v}_{X}={v}_{Q}sin30°=\frac{BqL}{6m}$
（2）离子离开磁场后，可能直接进入磁场偏转后返回电场，也可能先直线运动一段距离后再进入磁场偏转后返回电场．
由于：qBv_Q=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{R}$ 
所以：$R=\frac{L}{3}$
离子离开电场后直接进入磁场偏转圆心角60°
最小宽度：△x=$\frac{L}{3}-\frac{L}{3}cos30°=\frac{L}{6}（2-\sqrt{3}）$
最小高度为$△y=2Rsin30°=\frac{L}{3}$
面积为$S=△x•△y=\frac{2-\sqrt{3}}{18}{L}^{2}$
（3）离子离开电场后，先直线运动，再进入磁场，最后通过O点返回电场在电场．
随着磁场区域下移，离子在磁场偏转的圆心角增大，运动时间变长．
在磁场中偏转最长时间t：$t=\frac{1}{3}T=\frac{1}{3}•\frac{2πm}{qB}=\frac{2πm}{3Bq}$
在第二象限匀速运动的位移x=$\frac{2}{3}Lcos30°=\frac{\sqrt{3}}{3}L$，
所需时间为t$′=\frac{x}{{v}_{Q}}=\frac{\sqrt{3}m}{Bq}$
所需时间为${t}_{总}=t+t′=\frac{\sqrt{3}m}{Bq}+\frac{2πm}{3qB}$
答：（1）正离子在P点的初速度为$\frac{BqL}{6m}$；
（2）矩形磁场的最面积为$\frac{2-\sqrt{3}}{18}{L}^{2}$；
（3）离子在返回电场前运动的最长时间$\frac{\sqrt{3}m}{Bq}+\frac{2πm}{3qB}$

点评 本题带电粒子在复合场中运动，电场中做平抛运动，关键要正确画出粒子在磁场中的运动的轨迹，由几何知识求磁场宽是关键．