Question

11．已知地球与月球质量之比为81：1，半径之比为3.8：1，在地球表面上发射卫星至少需要7.9km/s的速度，问：在月球上发射一颗环绕月球表面运行的卫星需要多大的发射速度？

Answer 1

分析 在月球上发射一颗环绕月球表面运行的飞行物的速度就是月球的第一宇宙速度．地球的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度．
根据万有引力提供向心力，分别对近地卫星和近月卫星列式，根据月球质量和地球质量的关系，月球半径和地球半径的关系，根据第一宇宙速度的表达式求出月球的第一宇宙速度和地球第一宇宙速度的关系，从而求出月球的第一宇宙速度大小．

解答 解：第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是最小的发射速度，
根据万有引力提供圆周运动向心力知
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
已知地球与月球质量之比为81：1，半径之比为3.8：1，
地球的第一宇宙速度和月球的第一宇宙速度之比是$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{\sqrt{\frac{81}{3.8}}}{\sqrt{\frac{1}{1}}}$
在地球表面上发射卫星至少需要7.9km/s的速度，
所以v₂=$\sqrt{\frac{3.8}{81}}$×7.9km/s≈1.7km/s
答：在月球上发射一颗环绕月球表面运行的卫星需要1.7km/s的发射速度．

点评 本题关键要知道什么是第一宇宙速度，掌握向心力问题的基本思路：万有引力提供向心力．