题目内容
如图，光滑半圆形轨道半径为R，水平面粗糙，弹簧自由端D与轨道最低点C距离为4R，一质量为m的可视为质点的小物块自圆轨道中点B由静止释放，压缩弹簧后被弹回到D点恰好静止．已知物块与水平面的动摩擦因数为0.2：重力加速度为g，弹簧始终处在弹性限度内，求：（1）弹簧的最大压缩量和最大弹性势能
（2）现把D点右侧水平地面打磨光滑，且已知弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比，使小物块压缩弹簧，释放后能通过半圆轨道最高点A，压缩量至少是多少？
【答案】分析：（1）对小物块从B到压缩到最右端再返回到D点为研究过程，根据动能定理求出弹簧的最大压缩量．从压缩量最大位置到返回原长的过程中，弹性势能全部转化为摩擦产生的内能，根据能量守恒求出最大弹性势能．
（2）根据牛顿第二定律求出通过最高点A的最小速度，抓住弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比，从弹簧压缩的位置到A点运用动能定理，求出压缩量的大小．
解答：解：（1）设最大压缩量为x，最大弹性势能为EP，由动能定理得
mgR-μmg（4R+2x）=0 ①
得 x=0.5R ②
返回过程弹性势能全部转化为摩擦产生的内能 EP=μmgx ③
得 EP=0.1mgR ④
故弹簧的最大压缩量为0.5R，最大弹性势能为0.1mgR．
（2）设压缩量至少为x′，相应的弹性势能为EP′
⑤
mg=m
⑥
⑦
联立⑤⑥⑦解得
⑧
故压缩量至少是
．
点评：本题综合运用了动能定理和能量守恒定律，解决本题的关键灵活选取研究的过程，选用适当的规律进行求解．
（2）根据牛顿第二定律求出通过最高点A的最小速度，抓住弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比，从弹簧压缩的位置到A点运用动能定理，求出压缩量的大小．
解答：解：（1）设最大压缩量为x，最大弹性势能为EP，由动能定理得
mgR-μmg（4R+2x）=0 ①
得 x=0.5R ②
返回过程弹性势能全部转化为摩擦产生的内能 EP=μmgx ③
得 EP=0.1mgR ④
故弹簧的最大压缩量为0.5R，最大弹性势能为0.1mgR．
（2）设压缩量至少为x′，相应的弹性势能为EP′
⑤mg=m
⑥
⑦联立⑤⑥⑦解得
⑧故压缩量至少是
．点评：本题综合运用了动能定理和能量守恒定律，解决本题的关键灵活选取研究的过程，选用适当的规律进行求解．
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