Question

16．小球P用长L=1m的细绳系着，在水平面内绕O点做匀速圆周运动，其角速度ω=2πrad/s．另一质量m=1kg的小球Q放在高出水平面h=1.25m的粗糙水平槽上，槽与绳平行，小球Q与槽之间的动摩擦因数为μ=0.1，槽的端点A在O点正上方．当小球P运动到图示位置时，小球Q以初速度v₀向A点运动然后做平抛运动，Q落到水平面时P恰好与它相碰．（g取10m/s²）求：
（1）若P与Q相碰时还没转够一周，则Q的初速度v₀和到达A的速度 v_A各为多少；
（2）若P与Q相碰时转动的时间大于一个周期，求Q运动到A点的时间和相应的Q在桌面上滑行的距离分别满足什么关系？

Answer 1

分析 （1）若没转够一周，则P转动正好是半周，由其周期可得转动时间，结合Q的平抛规律，依据运动的等时性，可得，小球Q做平抛运动，由平抛规律可得Q的初速度v₀，进而可得到达A的速度v_A．
（2）若P与Q相碰时转动的时间大于一个周期，则其转动时间为（n+$\frac{1}{2}$）个周期，结合Q的平抛规律，依据运动的等时性，可得Q的初速度v₀，进而求Q运动到A点的时间和相应的Q在桌面上滑行的距离关系．

解答 解：
（1）小球Q做平抛运动，由平抛规律可得：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
L=v_At，
解得：
${v}_{A}=L\sqrt{\frac{g}{2h}}=1×\sqrt{\frac{10}{2×1.25}}=2m/s$．
t=0.5s，
小球的加速度为：
a=μg=0.1×10=1m/s²，
由运动学：
v_A=v₀-at₁，
解得：
v₀=2+t₁，
又若P与Q相碰时还没转够一周，则P转动正好是半周，则其平抛运动时间为半个周期：
${t}_{0}=\frac{π}{ω}$=0.5s，
由题意：
t₀=t+t₁，
解得：
t₁=0，
可得：
v₀=2m/s．
（2）若P与Q相碰时转动的时间大于一个周期，则其转动时间为（n+$\frac{1}{2}$）个周期，P的周期为$T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2π}=1s$，对Q依据平抛运动规律有：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
L=v₀t
Q运动到A点的时间为t₂，则：
$（n+\frac{1}{2}）×1=0.5+{t}_{2}$，
解得：
t₂=ns，（n=1、2、3…）．
Q在桌面上滑行的距离：
$x={v}_{0}{t}_{2}-\frac{1}{2}a{{t}_{2}}^{2}$=$2n-\frac{1}{2}{n}^{2}$，（n=1、2、3…）．
答：
（1）若P与Q相碰时还没转够一周，则Q的初速度v₀=2m/s到达A的速度v_A=2m/s；
（2）若P与Q相碰时转动的时间大于一个周期，Q运动到A点的时间为ns，（n=1、2、3…），
相应的Q在桌面上滑行的距离为$2n-\frac{1}{2}{n}^{2}$，（n=1、2、3…）．

点评 该题的关键是用好运动的等时性，以及掌握熟练平抛的运动规律，其中运动的等时性在相遇问题中尤其重要．