Question

13．如图所示，在光滑水平地面上有一竖直固定的半径为R的光滑半圆弧轨道和一倾角为θ的表面光滑的斜面体，质量均为m的物体A和B分别放在圆弧轨道和斜面体的底端．
（1）要使物体A能够从圆弧的最高点飞出，则A物体的初速度v_A至少为多大？
（2）在A物体恰好通过最高点的同时，物体B以v_B的初速度沿斜面上滑，当B上滑到最高P点时恰好被A物体击中，则P点到圆弧最高点的水平距离S是多少？（A、B均可看作质点）

Answer 1

分析 （1）物体A恰好能够从圆弧的最高点飞出时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出A通过最高点的最小速度，再由机械能守恒定律求出A物体最小的初速度v_A．
（2）物体A离开圆弧最高点后做平抛运动，B沿斜面向上做匀减速运动，根据牛顿第二定律求出B的加速度，再由速度时间公式求出B运动的时间，抓住同时性得到A平抛运动的时间，即可结合平抛运动的规律求P点到圆弧最高点的水平距离S．

解答 解：（1）物体A恰好能够从圆弧的最高点飞出时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
可得：v₀=$\sqrt{gR}$
A从圆弧最低点运动到最高点的过程，由机械能守恒定律得：
mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得：v_A=$\sqrt{5gR}$
即A物体的初速度v_A至少为$\sqrt{5gR}$．
（2）物体B沿斜面上滑的加速度大小为：a=$\frac{{m}_{B}gsinθ}{{m}_{B}}$=gsinθ
上滑的时间为：t=$\frac{{v}_{B}}{a}$=$\frac{{v}_{B}}{gsinθ}$
物体A离开圆弧最高点后做平抛运动，则P点到圆弧最高点的水平距离为：S=v₀t=$\frac{{v}_{B}\sqrt{gR}}{gsinθ}$
答：（1）A物体的初速度v_A至少为$\sqrt{5gR}$．
（2）P点到圆弧最高点的水平距离S为$\frac{{v}_{B}\sqrt{gR}}{gsinθ}$．

点评 解决本题的关键要掌握物体A到达圆弧最高点的临界条件：重力充当向心力，分析时要抓住两个物体运动的同时性．