Question

2．如图所示，为一除尘装置的截面图，其原理是通过板间的电场或磁场使带电尘埃偏转并吸附到极板上，达到除尘的目的．已知金属极板MN长为d，间距也为d．大量均匀分布的尘埃以相同的水平速度v₀进入除尘装置，设每个尘埃颗粒质量为m、电量为-q．当板间区域同时加入匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，并逐步增强至合适大小时，尘埃恰好沿直线通过该区域；且只撤去电场时，恰好无尘埃从极板MN间射出，收集效率（打在极板上的尘埃占尘埃总数的百分比）为100%，不计尘埃的重力、尘埃之间的相互作用及尘埃对板间电场、磁场的影响．
（1）判断M板所带电荷的电性；
（2）求极板区域磁感应强度B的大小；
（3）若撤去极板区域磁场，只保留原来的电场，则除尘装置的收集效率是多少？
（4）把极板区域的磁场和电场均撤去后，在y轴右侧设计一个垂直于坐标平面的圆形匀强磁场区域，就可把全部尘埃收集到位于Q点的收集箱内．若直角坐标系原点O紧贴金属极板MN右侧中点，Q点坐标为（2d，-1.5d），求此磁场的方向及磁感应强度B′的大小范围．

Answer 1

分析 （1）负电荷做匀速直线运动，所受合力为零，应用左手定则判断出洛伦兹力方向，然后判断出电场方向，再判断M板电荷电性．
（2）沿N极板射入的尘埃如果不能射出极板，则所有尘埃都不变射出极板，作出尘埃的运动轨迹，求出尘埃的轨道半径，然后应用牛顿第二定律求出磁感应强度．
（3）尘埃在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律分答题．
（4）根据题意作出尘埃的运动轨迹，然后判断出磁场的方向，求出磁感应强度大小范围．

解答 解：（1）负电荷进入纸面向外的匀强磁场，根据左手定则，
受到的洛伦磁力的方向向上，尘埃恰好沿直线通过该区域MN，
说明电场力和洛伦磁力大小相等，方向相反，洛伦兹力竖直向上，
则电场力竖直向下，负电荷所受电场力方向与场强方向相反，电场向上，M板带负电；
（2）沿N极板射入的尘埃恰好不从极板射出时尘埃的运动轨迹如图所示，
由几何知识可知，尘埃在磁场中的半径：r=d，
尘埃在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：$q{v_0}B=m\frac{{{v_0}^2}}{r}$，解得：$B=\frac{{m{v_0}}}{qd}$；
（3）电场、磁场同时存在时，尘埃匀速直线，满足：qE=qv₀B，
撤去磁场以后粒子在电场作用下平抛，假设距离N极板y的粒子恰好离开电场：
水平方向：d=v₀t       竖直方向：$y=\frac{1}{2}a{t^2}$，加速度：$a=\frac{qE}{m}$  解得：y=0.5d，
当y＞0.5d时，时间更长，水平位移x＞d，即0.5d到d这段距离的粒子会射出电场，
则从平行金属板出射的尘埃占总数的百分比：$\frac{d-0.5d}{d}×100%$=50%；
（4）尘埃在磁场中做匀速圆周运动，尘埃若要汇聚在P点，尘埃运动轨迹应经过P点，
偏转磁场的半径应该和尘埃的偏转半径相等，尘埃运动轨迹如图所示，
尘埃沿沿顺时针方向偏转，由左手定则可知：磁场的方向垂直于纸面向里，
磁场半径的最小值应该为d，对应的B′的最大值为：$\frac{{m{v_0}}}{qd}$，
磁场半径的最大值应该为2d，对应的B′的最小值为：$\frac{{m{v_0}}}{2qd}$，
则磁场的范围是：$\frac{{m{v_0}}}{2qd}$≤B′≤$\frac{{m{v_0}}}{qd}$；
答：（1）M板所带电荷是负电荷；
（2）极板区域磁感应强度B的大小为$\frac{m{v}_{0}}{qd}$；
（3）若撤去极板区域磁场，只保留原来的电场，则除尘装置的收集效率是50%；
（4）磁场的方向垂直于纸面向里，磁感应强度B′的大小范围的：$\frac{{m{v_0}}}{2qd}$≤B′≤$\frac{{m{v_0}}}{qd}$．

点评 本题考查了粒子在复合场与磁场中的运动，分析清楚尘埃的运动过程与受力情况、作出尘埃的运动轨迹是解题的关键，应用平衡条件、左手定则、类平抛运动规律等即可解题，要掌握带电粒子在电场与磁场中的处理方法．