Question

20．人类对宇宙的探测永无止境．假设某一天人类乘坐宇宙飞船可以翱翔太空，当飞船到达某一个星球表面仅在其引力作用下做匀速圆周运动时，若周期越小，则（　　）

• A． 该星球质量大
• B． 该星球密度大
• C． 若半径一定，则该星球的第一宇宙速度越大
• D． 若半径一定，则飞船受到的引力越小

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力得出星球质量的表达式，通过表达式分析星球质量和周期的关系．结合星球质量和体积求出星球密度表达式，从而分析判断．
当半径一定时，根据周期的变化得出星球质量的变化，结合线速度与轨道半径的关系判断第一宇宙速度的变化，根据星球质量的变化，分析飞船引力的变化．

解答 解：飞船在星球表面做匀速圆周运动，根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，周期小，由于半径未知，则星球的质量不一定大，故A错误．
则星球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$，周期越小，星球的密度越大，故B正确．
若半径一定，根据M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，周期越小，星球的质量越大，根据v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$知，星球的第一宇宙速度越大，故C正确．
半径一定，星球的质量越大，根据F=$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$知，飞船受到的引力越大，故D错误．
故选：BC．

点评 解决本题的关键通过万有引力提供向心力得出星球质量、密度等表达式，通过表达式分析判断，这是处理这类问题常用的方法．