Question

3．如图所示，粗细均匀的金属环的电阻为R，可绕轴O转动的金属杆OA的电阻为$\frac{R}{4}$，杆长为l，A端与环相接触，一电阻为$\frac{R}{2}$的定值电阻分别与杆的端点O及环边缘连接．杆OA在垂直于环面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场中，以角速度ω顺时针转动．求电路中总电流的变化范围．

Answer 1

分析 杆OA转动中切割磁感线产生感应电流，同时明确电路结构，根据串并联电路的规律分析电阻的范围，再由闭合电路欧姆定律分析电流的变化范围．

解答 解：设OA杆转至图示位置时，金属环AD间的两部分电阻分别为R₁、R₂，其等效电路如图所示．
则电路中的总电流为$I=\frac{E}{R_总}=\frac{E}{{\frac{R}{2}+\frac{R}{4}+{R_并}}}=\frac{{\frac{1}{2}Bβω{l^2}}}{{\frac{3}{4}R+{R_并}}}$，式中${R_并}=\frac{{{R_1}{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}$，因为R₁+R₂=R为定值，故当R₁=R₂时，R_并有最大值，最大值为$\frac{R}{4}$；
当R₁=0或R₂=0时，R_并有最小值，最小值为0，因此电流的最大值和最小值分别为${I_{min}}=\frac{{\frac{1}{2}Bω{l^2}}}{{\frac{3}{4}R+\frac{1}{4}R}}=\frac{{Bω{l^2}}}{2R}$；
${I_{max}}=\frac{{\frac{1}{2}Bω{l^2}}}{{\frac{3}{4}R+0}}$=$\frac{{2Bω{l^2}}}{3R}$．
所以$\frac{{Bω{l^2}}}{2R}≤I≤\frac{{2Bω{l^2}}}{3R}$．
答：电路中电流的变化范围为$\frac{{Bω{l^2}}}{2R}≤I≤\frac{{2Bω{l^2}}}{3R}$．

点评 本题考查导体切割磁感线与闭合电路欧姆定律的结合应用，要注意本题中明确电路结构是解题的关键，注意圆环两部分相当于并联，总电阻不变，当两边相等时总电阻最大，有一边短路时电阻最小．