Question

如图所示，在圆柱形房屋天花板中心O点悬挂一根长为L的细绳，绳的下端挂一个质量为m的小球，已知绳能承受的最大拉力为F_T=2mg，小球在水平面内做圆周运动，当小球速度慢慢地逐渐增大到绳断裂后，小球恰好以速度v₂=

7gL

落到墙脚边（小球下落过程中没有与房屋发生碰撞，且不计空气阻力）．求：
（1）绳断裂瞬间小球的速度v₁
（2）绳断裂瞬间小球地面的竖直高度h
（3）圆柱形房屋的半径R．

Answer 1

分析：（1）小球在水平面内做匀速圆周运动时，由重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解速度v₁；
（2）、（3）小球在绳子断开后做平抛运动，根据动能定理求得小球下落的高度h，由平抛运动的规律和几何知识求解半径R．

解答：解：（1）绳断裂瞬间，对小球的受力分析（如下图），根据牛顿第二定律，有：
  F_Tcosθ=mg…①
  FTsinθ=m

v 2 1

r

…②
且  F_T=2mg…③
   r=Lsinθ…④
联①②③④式，代入数据解得：θ=60°，v1=

3gL 2

…⑤
（2）小球从抛出至落地，由动能定理有：mgh=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

…⑥
代入数据，解得：h=

9

4

L…⑦
（3）绳断后，小球做平抛运动，且有：
  h=

1

2

gt2…⑧
  x=v₁t…⑨
  R=

(Lsinθ)2+x2

…⑩
解得：R=3L…（11）
答：（1）绳断裂瞬间小球的速度v₁是

3 2 gL

．
（2）绳断裂瞬间小球地面的竖直高度h是

9

4

L．
（3）圆柱形房屋的半径R是3L．

点评：本题主要考查了平抛运动的基本公式及向心力公式的应用，要求同学们能画出小球运动的轨迹，能结合几何关系解题，难度适中．