题目内容
宇航员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部最低点静止一质量为m的小球(可视为质点)，如图所示，当施加给小球一瞬间水平冲量I时，恰好能使小球在竖直面内做完整圆周运动.已知圆弧轨道半径为r，月球的半径为R，万有引力常量为G.若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需的最小发射速度为多大?轨道半径为2R的环月卫星周期为多大?
解：设月球表面重力加速度为g，月球质量为M.在圆弧最低点时对小球有：
I=mv0 ①
因为球刚好完成圆周运动，所以小球在最高点有mg=m
②
从最低点至最高点有mg(2r)=
m
-
mv2 ③
由①②③可得g=
因为在月球表面发射卫星的最小速度为月球第一宇宙速度，所以umin=
(2分)当环月卫星轨道半径为2R时，有
=m
·2R ④ ，
所以T=2π
⑤ 将黄金代换式GM=gR2代入⑤式得
T=2π
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