题目内容
宇航员在月球表面完成下面的实验：在一固定的竖直光滑圆轨道内部有一质量为m的小球（可视为质点），如图所示．当在最高点给小球一瞬间的速度v时，刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，已知圆弧的轨道半径为r，月球的半径为R，引力常量为G．求：（1）若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？
（2）月球的平均密度为多大？
（3）轨道半径为2R的环月卫星周期为多大？
分析：（1）由最小发射速度应是万有引力等于重力，而重力又充当向心力时的圆周运动速度，由此可以解得最小发射速度．
（2）由万有引力等于重力解出质量，然后又密度等于质量除以体积可以得到密度．
（3）由万有引力充当向心力的周期表达式，可以得到周期．
（2）由万有引力等于重力解出质量，然后又密度等于质量除以体积可以得到密度．
（3）由万有引力充当向心力的周期表达式，可以得到周期．
解答：解：（1）小球在最高点重力充当向心力：mg=m
月球近地卫星最小发射速度：m′g=m′
又：G
=m′g
解得：v1=
v
（2）由：G
=mg
得：M=
又：ρ=
=
解得：ρ=
（3）对该卫星有：G
=m1
2R
解得：T=4π
答：
（1）若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为v1=
v
（2）月球的平均密度为ρ=
（3）轨道半径为2R的环月卫星周期为T=4π
| v2 |
| r |
月球近地卫星最小发射速度：m′g=m′
| v12 |
| R |
又：G
| Mm′ |
| R2 |
解得：v1=
|
（2）由：G
| Mm |
| R2 |
得：M=
| gR2 |
| G |
又：ρ=
| M |
| V |
| M | ||
|
解得：ρ=
| 3v2 |
| 4πrRG |
（3）对该卫星有：G
| Mm1 |
| (2R)2 |
| 4π2 |
| T2 |
解得：T=4π
|
答：
（1）若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为v1=
|
（2）月球的平均密度为ρ=
| 3v2 |
| 4πrRG |
（3）轨道半径为2R的环月卫星周期为T=4π
|
点评：本题重点一是对最小发射速度的求解，应知道最小发射速度对应的向心力时重力．二是密度的求解，就是用质量除以体积，这里的重点是依据已知量来表示质量．
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