Question

9．如图所示，有两个匀强磁场，x轴上方磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，下方磁场的磁感应强度大小为2B，方向垂直纸面向外．一个电子以速度v从x轴上某点垂直x轴进入上方的磁场区域，此后将在两磁场中做周期性运动，电子质量为m，电荷量为e，不计重力，则：
（1）在图上定性地画出电子完成第一个周期性运动的轨迹；
（2）电子完成一次周期性运动沿x轴移动的距离是多少？
（3）电子完成一次周期性运动经历的时间是多少？

Answer 1

分析 （1）电子在磁场中做匀速圆周运动，速率不变，B越大，轨迹越小，从而画出电子的运动轨迹．
（2）电子在磁场中运动时由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得轨道半径，根据几何关系求出对应的距离．
（3）得出周期的表达式，根据几何关系求出时间．

解答 解：
（1）电子在同一磁场中做匀速圆周运动，由半径公式r=$\frac{mv}{qB}$知B越大，r越小，画出运动轨迹如图所示．  

（2）电子做匀速圆周运动时，由洛仑兹力提供向心力，所以有 $eBv=\frac{{m{v^2}}}{R}$
得 $R=\frac{mv}{qB}$
可见电子在x轴上方磁场的运动半径为 ${R_1}=\frac{mv}{eB}$
下方磁场的运动半径为 ${R_2}=\frac{mv}{2eB}$
所以电子运动一个周期沿 x 轴移动的距离是 $x=2（{R_1}+{R_2}）=\frac{3mv}{eB}$
（3）因为$T=\frac{2πR}{v}$得 $T=\frac{2πm}{eB}$
可见电子在x轴上方磁场的运动周期为 ${T_1}=\frac{2πm}{eB}$，下方磁场的运动周期为 ${T_2}=\frac{πm}{eB}$
所以电子运动一个周期经历的时间是 $t=\frac{{{T_1}+{T_2}}}{2}=\frac{3πm}{2eB}$
答：
（1）画出电子完成第一个周期性运动的轨迹如图所示；
（2）电子完成一次周期性运动沿x轴移动的距离是$\frac{3mv}{eB}$．
（3）电子完成一次周期性运动经历的时间是$\frac{3πm}{2eB}$．

点评 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的时间，常常根据t=$\frac{θ}{2π}$T求出，θ是轨迹的圆心角，根据几何知识求解．