Question

12．有人设计一种弹射装置，可以把货物从较低的位置弹射到较高的位置．其结构简图如图所示，AB为倾角θ=37°的斜面轨道，轨道的AC部分光滑，CB部分组成粗糙．BP为圆心角等于143°、半径R=1m的竖直光滑圆弧形轨道，两轨道相切于B点，P、O两点在同一竖直线上，轻弹簧一端固定在A点，当处于自然长度时另一端在斜面上C点处，现有一质量m=2kg的物块（可视为质点）在外力作用下将弹簧缓慢压缩到D点后（不拴接）释放，物块经过C点后，从C点运动到B点过程中的位移与时间的关系为x=12t-4t²（式中x单位是m，t单位是s），假设物块第一次经过B点后恰能到达P点，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．
（1）求物块与斜面的摩擦因素μ；
（2）若$\overline{CD}$=1m，试求物块从D点运动到C点的过程中，弹簧对物块所做的功；
（3）求B、C两点间的距离x_BC．

Answer 1

分析 （1）根据CB段匀减速直线运动的位移时间关系得出物体运动的加速度，从而根据牛顿第二定律求出动摩擦因数；
（2）物体在CB段向上做匀减速直线运动，根据位移与时间的关系得出C点的速度，然后对DC段运用动能定理，求出弹力所做的功．
（3）物体恰好到达P点，根据牛顿第二定律得出P点的速度，通过机械能守恒定律得出B点的速度，然后通过匀变速直线运动的速度位移公式求出B、C两点间的距离

解答 解：（1）由x=12t-4t²知，物块从C运动到B过程中的加速度大小为a=8m/s²
设物块与斜面间的动摩擦因数为μ，由牛顿第二定律得
mgsinθ+μmgcosθ=ma                                   
代入数据解得μ=0.25
（2）由x=12t-4t²知，物块在C点速度为v₀=12 m/s        
设物块从D点运动到C点的过程中，弹簧对物块所做的功为W，
由动能定理W-mgCDsin37°=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$                      
代入数据得：W=156J                                  
（3）物块在P点的速度满足mg=m$\frac{{v}_{p}^{2}}{R}$                     
物块从B运动到P的过程中机械能守恒，则有$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{p}^{2}$+mgh_pB 
h_pB=R（1+sin53°）                    
物块从C运动到B的过程中有 v${\;}_{B}^{2}$-v${\;}_{0}^{2}$═-2ax          
由以上各式解得x=$\frac{49}{8}$
答：（1）动摩擦因数为0.25；
（2）若CD=1m，试求物块从D点运动到C点的过程中，弹簧对物块所做的功为156J；
 （3）求B、C两点间的距离x=$\frac{49}{8}$．

点评 本题综合考查了动能定理、机械能守恒定律以及牛顿第二定律，对学生的能力要求较高，关键理清物体的运动情况，选择合适的规律进行求解．