Question

5．在许多建筑工地经常使用打夯机将桩料打入泥土中以加固地基．打夯前先将桩料扶起、使其缓慢直立进入泥土中，每次卷扬机都通过滑轮用轻质钢丝绳将夯锤提升到距离桩顶h₀=5m处再释放，让夯锤自由下落，夯锤砸在桩料上并不弹起，而随桩料一起向下运动．设夯锤和桩料的质量均为m=500kg，泥土对桩料的阻力为f=kh，其中常数k=2.0×10⁴N/m，h是桩料深入泥土的深度．卷扬机使用电动机来驱动，卷扬机和电动机总的工作效率为η=95%，每次卷扬机需用20s的时间提升夯锤．提升夯锤时忽略加速和减速的过程，不计夯锤提升时的动能，也不计滑轮的摩擦．夯锤和桩料的作用时间极短，g取10m/s²，求：
（1）在提升夯锤的过程中，电动机的输入功率．（结果保留2位有效数字）
（2）打完第一夯后，桩料进入泥土的深度．

Answer 1

分析 由能量守恒定律来算出电动机的输入功率；先算出依靠自重桩料可下沉高度，再用平均力做功算出突入泥土的深度．

解答 解：（1）提升夯锤的过程中需做功为：W=mgh₀
得：W=500×10×5J=2.5×10⁴J
则卷扬机的输入功率为：$P=\frac{W}{ηt}=\frac{25000}{0.95×20}W=\frac{5}{38}×{10^4}W=1.3×{10^3}W$
（2）依靠自重桩料可下沉h₁
有mg=2.0×10⁴h₁
得：h₁=0.25m
夯在打击前的速度为：$v=\sqrt{2g{h_0}}=10m/s$
夯锤砸在桩料上的过程时间短，近似看做动量守恒，在竖直方向上，由于夯锤砸在桩料上并不弹起，而随桩料一起向下运动，所以得：
mv=（m+m）v₁
打击后的共同速度为：v₁=5m/s
下冲过程的阻力是随距离均匀变化的力，可用平均力求做功，下冲过程用动能定理
$0-\frac{1}{2}mv_1^2=2mg△h-\frac{1}{2}k[{{h_1}+（{{h_1}+△h}）}]△h$
2△h²-△h-2.5=0，$△h=\frac{{1+\sqrt{21}}}{4}m=1.4m$
则第一夯打击后桩料深入泥土的深度为：h=h₁+△h=1.65m
答：（1）在提升夯锤的过程中，电动机的输入功率为1.3×10³W；
    （2）打完第一夯后，桩料进入泥土的深度为1.65m．

点评 本题考查动能定理和能量守恒的使用，难点在于当力随距离均匀变化时，可用平均力求功，也可用图象法，力与距离所夹面积表示功．