Question

9．天文学家在距离地球127光年处发现了一个拥有7颗行星的“太阳系”，这些行星与其中央恒星之间遵循基本天体运行规律，和我们太阳系的规则相似．这一星系的中央恒星名为“HD10180”．分析显示，其中一个行星绕中央恒星“HD10180”的公转周期为584天，是地球绕太阳公转周期的1.6倍；与中央恒星“HD10180”的距离是2.3亿公里，等于太阳和地球之间平均距离的1.6倍，将行星与地球的公转轨道视为圆．求恒星“HD10180”的质量与太阳的质量之比．

Answer 1

分析 行星绕中央恒星“HD10180”公转，地球绕太阳公转，结合万有引力提供向心力，得出中心天体质量之比与周期之比、轨道半径之比的关系，从而求出恒星“HD10180”的质量与太阳的质量之比．

解答 解：设中央恒星质量为M₁，这个行星质量为m₁，行星绕恒星运转的轨道半径为r₁，周期为T₁；太阳质量为M₂，地球质量为m₂，地球绕太阳运转的轨道半径为r₂，周期为T₂
对行星：G$\frac{{M}_{1}{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}$=m₁r₁$（\frac{2π}{{T}_{1}}）^{2}$，
对地球：G$\frac{{M}_{2}{m}_{2}}{{{r}_{2}}^{2}}$=m₂r₂$（\frac{2π}{{T}_{2}}）^{2}$，
联立解得$\frac{{M}_{1}}{{M}_{2}}=\frac{{{T}_{2}}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}{{r}_{2}}^{3}}$=$\frac{1．{6}^{3}}{1．{6}^{2}}$=1.6    
答：恒星“HD10180”的质量与太阳的质量之比为1.6：1．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，难度不大．