Question

12．如图所示，绷紧的传送带在电动机的带动下，始终保持v₀的速度匀速运行，传送带与水平面成30°角，现把一个质量m=10kg的工件以初速度v₁=4m/s的速度沿传送带方向由底端抛到传送带上，经过一段时间后，工件被送到高h=1m的平台上，已知工件与传送带间的动摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，g取10m/s²．
（1）若使物体被传送到顶端，则皮带运行的速度至少为多大？
（2）在满足（1）的条件下，物体被传送的过程中物体相对与传送带的路程是多少？
（3）物块在皮带上留下的划痕有多长？

Answer 1

分析 （1）工件重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力，当滑块速度与传送带速度相等时，不能保持相对静止，分别讨论滑块速度大于传送带速度和滑块速度小于传送带速度的情况，结合牛顿第二定律和运动学公式分析判断，得出皮带运行的最小速度．
（2、3）根据工件和传送带的位移大小，得出物体相对传送带的路程，从而得出留下的划痕．

解答 解：（1）因为工件重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力，当滑块速度与传送带速度相等时，不能保持相对静止，滑块会相对传送带向下滑．
若滑块的速度大于传送带速度，
则滑块向上做匀减速直线运动，$a=\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}$=gsinθ+μgcosθ=$10×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}×10×\frac{\sqrt{3}}{2}$=7.5m/s²，
滑块速度减为零的位移$x=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2a}=\frac{16}{15}m＜\frac{h}{sinθ}$，可知滑块不能被传送到顶端．
若滑块的速度小于传送带速度，
滑块向上做匀减速直线运动，加速度大小a=$\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}$=$gsinθ-μgcosθ=10×\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}×10×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2.5m/s²，
速度减为零的位移$x=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2a}=\frac{16}{2×2.5}m=3.2m＞\frac{h}{sinθ}$，知滑块能被传送到顶端．
则传送带的速度至少为4m/s．
（2）滑块向上匀减速直线运动的位移x=2m，加速度大小为2.5m/s²，初速度为4m/s，
根据$x={v}_{1}t-\frac{1}{2}a{t}^{2}$得，t≈0.6s，
传送带的位移x′=v′t=4×0.6m=2.4m，
物体被传送的过程中物体相对与传送带的路程s=x′-x=2.4-2m=0.4m．
（3）物块在皮带上留下的划痕等于物体相对传送带的路程，即为0.4m．
答：（1）若使物体被传送到顶端，则皮带运行的速度至少为4m/s．
（2）物体被传送的过程中物体相对与传送带的路程是0.4m．
（3）物块在皮带上留下的划痕有0.4m．

点评 解决本题的关键理清工件在传送带上的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，得出工件运动规律是关键．