题目内容
如图所示，在光滑绝缘的水平台面上，存在平行于水平面向右的匀强电场，电场强度为E．水平台面上放置两个静止的小球A和B（均可看作质点），两小球质量均为m，A球带电荷量为+Q，B球不带电，A、B连线与电场线平行．开始时两球相距L，在电场力作用下，A球开始运动（此时为计时零点，即t=0），后与B球发生对心碰撞，碰撞过程中A、B两球总动能无损失，设在各次碰撞过程中，A、B两球间无电量转移，且不考虑两球碰撞时间及两球间的万有引力，试求：（1）第一次碰撞结束瞬间A、B两球的速度各为多大？
（2）从计时零点到即将发生第三次碰撞时所经历的总时间为多少？
（3）若要求A在运动过程中对桌面始终无压力且刚好不离开水平桌面（v=0时刻除外），可以在水平面内加一与电场正交的磁场．请写出磁场B（t）与时间t的函数关系．
【答案】分析：（1）根据牛顿第二定律求出A球的加速度，由速度位移公式求出A球与B球碰撞前的速度．由于碰撞过程中A、B两球总动能无损失，交换速度．
（2）根据速度公式求出第一次碰撞时间．第一次碰后，A球追及B球，当位移相等时，发生第二碰撞，由位移相等求出第二次碰撞时间．同理求解第三次碰撞时间．
（3）要求A在运动过程中对桌面始终无压力且刚好不离开水平桌面，洛伦兹力与重力平衡．采用归纳法分别分析从计时零点到即将发生第1次碰撞这段过程、第1次碰撞到即将发生第2次碰撞这段过程、从第2次碰撞到即将发生第3次碰撞这段过程…由A球竖直方向力平衡得到B（t）与时间t的关系式，总结出规律，再求磁场B（t）与时间t的函数关系．
解答：解：（1）A球的加速度为a=
碰前A的速度为vA1=
=
，碰前B的速度为vB1=0由于碰撞过程中A、B两球总动能无损失，交换速度，则碰撞后A、B的速度分别
vA1′=0，vB1′=vA1=
．
（2）A、B球发生第一次、第二次、第三次的碰撞时间分别为t1、t2、t3．
则t1=
=
第一次碰后，经t2-t1时间A、B两球发生第二次碰撞，设碰前瞬间A、B两球速度为vA2和vB2，则有
vB1′（t2-t1）=
a（t2-t1）2
解得，t2=3t1
vA2=a（t2-t1）=2at1=2vA1=2
．
vB2=vB1′=
．
第二次碰后瞬间，A、B两球速度分别为
vA2′和vB2′，经t3-t2时间A、B两球发生碰撞，并设碰撞前瞬间A、B两球速度分别vA3和vB3
则vA2′=vB2=
．
vB2′=vA2=2
．
当vB2′（t3-t2）=vA2′（t3-t2）+
a（t3-t2）2发生第三次碰撞
解得，t3-t2=t2-t1，t3=5
．
（3）对A球，要求A在运动过程中对桌面始终无压力且刚好不离开水平桌面，洛伦兹力与重力恰好平衡，得
BQvA=mg，得B=
，A球的加速度为 a=
则从A球开始运动到发生第1次碰撞这段过程中，
B（t）=
0＜t≤
从第1次碰撞到发生第2次碰撞这段过程中，
B（t）=
≤t≤3
从第2次碰撞到发生第3次碰撞这段过程中，
B（t）=
3
≤t≤5
从第3次碰撞到发生第4次碰撞这段过程中，
B（t）=
5
≤t≤7
…
以此类推，从第n次碰撞到发生第n+1次碰撞这段过程中，
B（t）=
（2n-1）
≤t≤（2n+1）
（n=1，2，3，…）
答：
（1）第一次碰撞结束瞬间A、B两球的速度各为0和
．
（2）从计时零点到即将发生第三次碰撞时所经历的总时间为5
．
（3）磁场B（t）与时间t的函数关系是 B（t）=
（2n-1）
≤t≤（2n+1）
（n=1，2，3，…）．
点评：本题是小球周期性运动问题，关键要采用归纳法总结规律，运用数学方法求解．
（2）根据速度公式求出第一次碰撞时间．第一次碰后，A球追及B球，当位移相等时，发生第二碰撞，由位移相等求出第二次碰撞时间．同理求解第三次碰撞时间．
（3）要求A在运动过程中对桌面始终无压力且刚好不离开水平桌面，洛伦兹力与重力平衡．采用归纳法分别分析从计时零点到即将发生第1次碰撞这段过程、第1次碰撞到即将发生第2次碰撞这段过程、从第2次碰撞到即将发生第3次碰撞这段过程…由A球竖直方向力平衡得到B（t）与时间t的关系式，总结出规律，再求磁场B（t）与时间t的函数关系．
解答：解：（1）A球的加速度为a=
碰前A的速度为vA1=
=，碰前B的速度为vB1=0由于碰撞过程中A、B两球总动能无损失，交换速度，则碰撞后A、B的速度分别vA1′=0，vB1′=vA1=
．（2）A、B球发生第一次、第二次、第三次的碰撞时间分别为t1、t2、t3．
则t1=
=第一次碰后，经t2-t1时间A、B两球发生第二次碰撞，设碰前瞬间A、B两球速度为vA2和vB2，则有
vB1′（t2-t1）=
a（t2-t1）2解得，t2=3t1
vA2=a（t2-t1）=2at1=2vA1=2
．vB2=vB1′=
．第二次碰后瞬间，A、B两球速度分别为
vA2′和vB2′，经t3-t2时间A、B两球发生碰撞，并设碰撞前瞬间A、B两球速度分别vA3和vB3
则vA2′=vB2=
．vB2′=vA2=2
．当vB2′（t3-t2）=vA2′（t3-t2）+
a（t3-t2）2发生第三次碰撞解得，t3-t2=t2-t1，t3=5
．（3）对A球，要求A在运动过程中对桌面始终无压力且刚好不离开水平桌面，洛伦兹力与重力恰好平衡，得
BQvA=mg，得B=
，A球的加速度为 a=则从A球开始运动到发生第1次碰撞这段过程中，
B（t）=
0＜t≤从第1次碰撞到发生第2次碰撞这段过程中，
B（t）=
≤t≤3从第2次碰撞到发生第3次碰撞这段过程中，
B（t）=
3≤t≤5从第3次碰撞到发生第4次碰撞这段过程中，
B（t）=
5≤t≤7…
以此类推，从第n次碰撞到发生第n+1次碰撞这段过程中，
B（t）=
（2n-1）≤t≤（2n+1） （n=1，2，3，…）答：
（1）第一次碰撞结束瞬间A、B两球的速度各为0和
．（2）从计时零点到即将发生第三次碰撞时所经历的总时间为5
．（3）磁场B（t）与时间t的函数关系是 B（t）=
（2n-1）≤t≤（2n+1） （n=1，2，3，…）．点评：本题是小球周期性运动问题，关键要采用归纳法总结规律，运用数学方法求解．
练习册系列答案
核心素养学练评系列答案
相关题目
如图所示，在光滑绝缘的水平直轨道上有两个带电小球a和b，a球质量为2m、带电量为+q，b球质量为m、带电量为+2q，两球相距较远且相向运动．某时刻a、b球的速度大小依次为v和1.5v，由于静电斥力的作用，它们不会相碰．则下列叙述正确的是（ ）
（2012?汕头一模）如图所示，在光滑绝缘水平面上，不带电的绝缘小球P2静止在O点．带正电的小球P1以速度v0从A点进入AB区域．随后与P2发生正碰后反弹，反弹速度为
如图所示，在光滑绝缘的水平面上有一个用一根均匀导体围成的正方形线框abcd，其边长为L，总电阻为R，放在磁感应强度为B．方向竖直向下的匀强磁场的左边，图中虚线MN为磁场的左边界．线框在大小为F的恒力作用下向右运动，其中ab边保持与MN平行．当线框以速度v0进入磁场区域时，它恰好做匀速运动．在线框进入磁场的过程中，
如图所示，在光滑绝缘水平面上，两个带等量正电的点电荷M、N，分别固定在A、B两点，O为AB连线的中点，CD为AB的垂直平分线．在CO之间的F点由静止释放一个带负电的小球P（设不改变原来的电场分布），在以后的一段时间内，P在CD连线上做往复运动．若（ ）| A、小球P的带电量缓慢减小，则它往复运动过程中振幅不断减小 | B、小球P的带电量缓慢减小，则它往复运动过程中每次经过O点时的速率不断减小 | C、点电荷M、N的带电量同时等量地缓慢增大，则小球P往复运动过程中周期不断减小 | D、点电荷M、N的带电量同时等量地缓慢增大，则小球P往复运动过程中振幅不断减小 |
如图所示，在光滑绝缘水平面上有直角坐标系xoy，将半径为R=0.4m，内径很小、内壁光滑、管壁极薄的圆弧形绝缘管AB水平固定在第二象限内，它的A端和圆心O′都在y轴上，B端在x轴上，O′B与y轴负方向夹角θ=60°．在坐标系的第一、四象限不同区域内存在着四个垂直于水平面的匀强磁场，a、b、c为磁场的理想分界线，它们的直线方程分别为a：y=0.2；b：y=-0.1；c：y=-0.4；在a、b所围的区域Ⅰ和b、c所围的区域Ⅱ内的磁感应强度分别为B1、B2，第一、四象限其它区域内磁感应强度均为B0．当一质量m=1.2×10-5kg、电荷量q=1.0×10-6C，直径略小于绝缘管内径的带正电小球，自绝缘管A端以v=2.0×10-2 m/s的速度垂直y轴射入管中，在以后的运动过程中，小球能垂直通过c、a，并又能以垂直于y轴的速度进入绝缘管而做周期性运动．求：