Question

如图所示，在光滑绝缘水平面上有直角坐标系xoy，将半径为R=0.4m，内径很小、内壁光滑、管壁极薄的圆弧形绝缘管AB水平固定在第二象限内，它的A端和圆心O′都在y轴上，B端在x轴上，O′B与y轴负方向夹角θ=60°．在坐标系的第一、四象限不同区域内存在着四个垂直于水平面的匀强磁场，a、b、c为磁场的理想分界线，它们的直线方程分别为a：y=0.2；b：y=-0.1；c：y=-0.4；在a、b所围的区域Ⅰ和b、c所围的区域Ⅱ内的磁感应强度分别为B₁、B₂，第一、四象限其它区域内磁感应强度均为B₀．当一质量m=1.2×10^-5kg、电荷量q=1.0×10^-6C，直径略小于绝缘管内径的带正电小球，自绝缘管A端以v=2.0×10^-2 m/s的速度垂直y轴射入管中，在以后的运动过程中，小球能垂直通过c、a，并又能以垂直于y轴的速度进入绝缘管而做周期性运动．求：
（1）B₀的大小和方向；
（2）B₁、B₂的大小和方向；．
（3）在运动的一个周期内，小球在经过第一、四    象限的过程中，在区域Ⅰ、Ⅱ内运动的时间与在区域Ⅰ、Ⅱ外运动的时间之比．

Answer 1

分析：（1）粒子在第一象限内做圆周运动，则由牛顿第二定律可求得磁感应强度，由左手定则可知磁场的方向；
（2）由题意可知，要使粒子能垂直ca且能周期性运动，则区域IⅠ、Ⅱ内小球运动的半径应相等，区域Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度应等大反向，由几何关系可得出粒子的半径，由牛顿第二定律可求得磁感应强度；
（3）粒子在运动中速度大小不变，则由s=vt可求得各段中所需要的时间，即可求出比值．

解答：解：（1）小球在第一象限过a做半径为R的匀速圆周运动
由牛顿第二定律有：qB0v=m

v2

R

解得：B0=

mv

qR

①
代入数据得：B₀=0.6T         
由左手定则知B₀方向垂直水平面向下．
（2）要使小球不停的做周期性运动，则区域Ⅰ、Ⅱ内小球运动的半径应相等，区域Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度应等大反向，B₂的方向为垂直水平面向下，B₁的方向为垂直水平面向上                   
小球做周期性运动的径迹如图甲．
设在区域Ⅱ、Ⅰ内小球的圆心为O₁、O₂，小球圆周运动的半径为r，偏转角为φ，如图乙所示．
由几何知识知：2rsinφ=O^′D②
R+r-DG=2rcosφ-r③
DG=(1+

3

2

)R④
解②③④得r=

3

2

R⑤
φ=

π

3

r=

mv

qB1

⑥
解④⑤得   B1=0.4

3

T≈0.693T
则有：B2=B1=0.4

3

T≈0.693T
（3）由v=

s

t

知：
小球在第4象限过c以前做匀速圆周运动时间为t1=

5πR

6v

⑦
小球在区域Ⅰ、区域Ⅱ做匀速圆周运动时间共为t2=

2πr

3v

⑧
小球在第1象限区域Ⅰ以上做匀速圆周运动时间为  t3=

πR

2v

⑨
设在运动的一个周期内，小球在通过第一、四象限的过程中，在区域Ⅰ、Ⅱ内运动的时间与在区域Ⅰ、Ⅱ外时间之比为k则  k=

t2

t1+t3

⑩
解⑤⑥⑦⑧⑨⑩得k=

3

4

．

点评：本题为高考压轴题，难度较大，要求学生能有较好的想象力，在解答此题时一定要注意通过画图去找出题目中所给出的条件所说明的情景，从而根据所学的半径公式及周期公式进行求解．