Question

如图，光滑细杆组成一直角三角形AOB，竖立于一直角坐标系xOy中，OB边位于x轴上沿水平方向、AO边位于y轴上沿竖直方向，A点坐标为（0，8）、B点坐标为（6，0），OA及AB两边上分别套着用轻质弹性细线连结着的铜环P与Q．当它们均静止时，铜环P的位置坐标为（0，4），则铜环Q的横坐标可能范围为

 

＜x_Q＜

 

．

Answer 1

分析：本题可以运用假设法分析∠AQP与∠ABO的关系．假设P环和假设铜环Q的质量分别为零时，由平衡条件得到两环有质量时的角度的关系，再由几何知识求解铜环Q的横坐标可能范围．

解答：解：设∠AQP=θ，∠ABO=β．由数学知识得：tanβ=

AO

BO

=

8

6

=

4

3

，得β=53°
假设P环质量为零，重力为零，它仅受线的拉力和细杆AO的弹力，它们是一对平衡力．由于细杆对P环的弹力垂直于AO向左，则细线必定垂直于AO，则细线平行于BO，此时θ=β，此时Q的横坐标为x=APcotβ=4×

3

4

=3．但实际上P环的质量大于零，重力大于零，要使此环处于静止，细线必须斜向右上方，则有θ＞β，则Q有横坐标x_Q＜3．
假设铜环Q的质量为零，重力为零，它仅受细线的拉力和AB的弹力，它们是一对平衡力，则此环平衡时，细线与AB垂直，θ=

π

2

，此时Q的横坐标为x=APcos53°?sin53°=1.92．而实际是铜环Q的质量大于零，重力大于零，要使此环处于静止状态，细线不能与AB垂直，应有θ＜

π

2

，故Q的横坐标应x_Q＞1.92．故铜环Q的横坐标可能范围为1.92＜x_Q＜3．
故答案为：1.92，3

点评：点评：本题运用假设法的思维方法，也可以通过分析两环的受力情况，由平衡条件，根据正交分解法确定θ的范围．