题目内容
如图所示，四分之一光滑绝缘圆弧轨道AP和水平绝缘传送带PC固定在同一 竖直平面内，圆弧轨道的圆心为O，半径为R．传送带PC之间的距离为L，沿逆时针方向的运动速度v=
．在PO的右侧空间存在方向竖直向下的匀强电场．一质量为m、电荷量为+q的小物体从圆弧顶点A由静止开始沿轨道下滑，恰好运动到C端后返回．物体与传送 带间的动摩擦因数为μ，不计物体经过轨道与传送带连接处P时的机械能损失，重力加速度为g
（1）求物体下滑到P点时，物体对轨道的压力F
（2）求物体返回到圆弧轨道后，能上升的最大高度H
（3）若在PO的右侧空间再加上方向垂直于纸面向里、磁感应强度为B的水平匀强磁场 （图中未画出），物体从圆弧顶点A静止释放，运动到C端时的速度为
，试求物体在传送带上运动的时间t．
| gR |
（1）求物体下滑到P点时，物体对轨道的压力F
（2）求物体返回到圆弧轨道后，能上升的最大高度H
（3）若在PO的右侧空间再加上方向垂直于纸面向里、磁感应强度为B的水平匀强磁场 （图中未画出），物体从圆弧顶点A静止释放，运动到C端时的速度为
| ||
| 2 |
分析：（1）物体从A端运动到P端的过程中，只有重力做功，机械能守恒，即可求出物体滑到P端时速度大小．经过P点时，由重力和轨道支持力的合力提供物体的向心力，根据牛顿运动定律求解物体对轨道的压力F．
（2）物体从C端返回时受到向左滑动摩擦力，向左做初速度为零的匀加速运动，根据动能定理列出滑块速度与皮带速度相同时通过的距离x表达式，再研究滑块从P到C过程，由动能定理列式，联立求出x，再由机械能守恒定律研究滑块滑上圆弧轨道的过程，求解最大高度H．
（3）在无磁场情况下物体从A端运动到C端的过程中，根据动能定理求出电场强度E．在有磁场情况下物体从P端运动到C端的过程中，滑块竖直方向上受到竖直向下的重力和电场力，竖直向上的支持力和洛伦兹力作用，随着速度的减小，洛伦兹力减小，滑块所受支持力增大，摩擦力增大，滑块做加速度减小的变减速运动，取一段极短时间△t，根据牛顿第二定律得到速度变化率表达式，运用积分法得到时间t．
（2）物体从C端返回时受到向左滑动摩擦力，向左做初速度为零的匀加速运动，根据动能定理列出滑块速度与皮带速度相同时通过的距离x表达式，再研究滑块从P到C过程，由动能定理列式，联立求出x，再由机械能守恒定律研究滑块滑上圆弧轨道的过程，求解最大高度H．
（3）在无磁场情况下物体从A端运动到C端的过程中，根据动能定理求出电场强度E．在有磁场情况下物体从P端运动到C端的过程中，滑块竖直方向上受到竖直向下的重力和电场力，竖直向上的支持力和洛伦兹力作用，随着速度的减小，洛伦兹力减小，滑块所受支持力增大，摩擦力增大，滑块做加速度减小的变减速运动，取一段极短时间△t，根据牛顿第二定律得到速度变化率表达式，运用积分法得到时间t．
解答：解：（1）设物体滑到P端时速度大小为vP，物体从A端运动到P端的过程中，机械能守恒mgR=
m
解得：vP=
设物体滑到P端时受支持力为N，根据牛顿第二定律N-mg=m
解得：N=3mg
设物体滑到P端时对轨道压力为F，根据牛顿第三定律
F=N=3mg
（2）物体到达C端以后受滑动摩擦力，向左做初速度为零的匀加速运动，设向左运动距离为x时物体与皮带速度相同，设物体受到的摩擦力为f，则
fx=
mv2=
mgR
物体从皮带的P端滑到C端摩擦力做功
-fL=0-
m
代入得，fL=
m2gR
解得：x=
L
即物体在皮带上向左先做匀加速运动一半皮带长度后，与皮带同速向左运动，即再次到达P点时速度大小是v=
根据机械能守恒定律，设在斜面上上升的高度H，则
mgH=
mv2
解得H=
（3）设电场强度为E，在无磁场物体从A端运动到C端的过程中，根据动能定理有 mgR-μ（mg+Eq）L=0-0
解得E=
在有磁场情况下物体从P端运动到C端的过程中，设任意时刻物体速度为v，取一段极短的含此时刻的时间△t，设在此时间段内的速度改变量为△v（取水平向右为正方向）．
根据牛顿第二定律，有 -μ(mg+Eq-qvB)=ma=m
两边同时乘以△t，再对两边求和得 -∑μ(mg+Eq)△t+∑μqBv△t=∑m△v
而 ∑v△t=∑△x=L，∑m△v=m(v′c-vp)
而v′c=
，vp=
则∑m△v=-m
以上结果代入上式，得 -μ(mg+Eq)t+μqBL=-m
化简得 t=
+
答：（ 1）物体下滑到P点时，物体对轨道的压力F是3mg．
（2）物体返回到圆弧轨道后，能上升的最大高度H为
．
（3）若在PO的右侧空间再加上方向垂直于纸面向里、磁感应强度为B的水平匀强磁场 （图中未画出），物体从圆弧顶点A静止释放，运动到C端时的速度为
，试求物体在传送带上运动的时间t是
+
．
| 1 |
| 2 |
| v | 2 P |
解得：vP=
| 2gR |
设物体滑到P端时受支持力为N，根据牛顿第二定律N-mg=m
| ||
| R |
解得：N=3mg
设物体滑到P端时对轨道压力为F，根据牛顿第三定律
F=N=3mg
（2）物体到达C端以后受滑动摩擦力，向左做初速度为零的匀加速运动，设向左运动距离为x时物体与皮带速度相同，设物体受到的摩擦力为f，则
fx=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
物体从皮带的P端滑到C端摩擦力做功
-fL=0-
| 1 |
| 2 |
| v | 2 p |
代入得，fL=
| 1 |
| 2 |
解得：x=
| 1 |
| 2 |
即物体在皮带上向左先做匀加速运动一半皮带长度后，与皮带同速向左运动，即再次到达P点时速度大小是v=
| gR |
根据机械能守恒定律，设在斜面上上升的高度H，则
mgH=
| 1 |
| 2 |
解得H=
| R |
| 2 |
（3）设电场强度为E，在无磁场物体从A端运动到C端的过程中，根据动能定理有 mgR-μ（mg+Eq）L=0-0
解得E=
| mg(R-μL) |
| μqL |
在有磁场情况下物体从P端运动到C端的过程中，设任意时刻物体速度为v，取一段极短的含此时刻的时间△t，设在此时间段内的速度改变量为△v（取水平向右为正方向）．
根据牛顿第二定律，有 -μ(mg+Eq-qvB)=ma=m
| △v |
| △t |
两边同时乘以△t，再对两边求和得 -∑μ(mg+Eq)△t+∑μqBv△t=∑m△v
而 ∑v△t=∑△x=L，∑m△v=m(v′c-vp)
而v′c=
| ||
| 2 |
| 2gR |
则∑m△v=-m
| ||
| 2 |
以上结果代入上式，得 -μ(mg+Eq)t+μqBL=-m
| ||
| 2 |
化简得 t=
| μqBL2 |
| mgR |
L
| ||
| 2gR |
答：（ 1）物体下滑到P点时，物体对轨道的压力F是3mg．
（2）物体返回到圆弧轨道后，能上升的最大高度H为
| R |
| 2 |
（3）若在PO的右侧空间再加上方向垂直于纸面向里、磁感应强度为B的水平匀强磁场 （图中未画出），物体从圆弧顶点A静止释放，运动到C端时的速度为
| ||
| 2 |
| μqBL2 |
| mgR |
L
| ||
| 2gR |
点评：本题是动能定理、牛顿运动定律、向心力公式的综合应用，难点在于运用积分法研究非匀减速运动的时间，切入口是根据牛顿第二定律得到瞬时速度与速度变化率的关系式．
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