Question

【题目】某兴趣小组设计了一个玩具轨道模型如图甲所示，将一质量为m＝0.5kg的玩具小车（可以视为质点）放在P点，用弹簧装置将其从静止弹出（弹性势能完全转化为小车初始动能）使其沿着半径为r＝1.0m的光滑圆形竖直轨道OAO′运动，玩具小车与水平面PB的阻力为其自身重力的0.5倍（g取10m/s2），PB＝16.0m，O为PB中点。B点右侧是一个高h＝1.25m、宽L＝2.0m的壕沟。求；

（1）要使小车恰好能越过圆形轨道的最高点A，小车在O点受到轨道弹力的大小；

（2）要求小车能安全越过A点，并从B点平抛后越过壕沟，则弹簧的弹性势能至少为多少？

（3）若在弹性限度内，弹簧的最大弹性势能Epm＝40J，以O点为坐标原点，OB为x轴，从O到B方向为正方向，在图乙坐标上画出小车能进入圆形轨道且不脱离轨道情况下，弹簧弹性势能Ep与小车停止位置坐标x关系图。

Answer 1

【答案】（1）要使小车恰好能越过圆形轨道的最高点A，小车在O点受到轨道弹力的大小是30N；（2）要求小车能安全越过A点，并从B点平抛后越过壕沟，则弹簧的弹性势能至少为44J。

（3）

【解析】

（1）小车恰好经过A点时，有：

得

对小车从O到A过程，根据动能定理，有：

解得 v0＝5m/s

小车在O点时，由牛顿第二定律得

联立解得：FN＝6mg＝30N

（2）要求Ⅰ：越过A点，v0＝5m/s

P→O：Ep弹1﹣kmgxPO＝mv02﹣0

得 Ep弹1＝32.5J

要求Ⅱ：平抛运动后越过壕沟，有

L＝vBt

h＝gt2

可得 vB＝4m/s

由动能定理，有 Ep弹2﹣kmgxPB＝mvB2﹣0

解得 Ep弹2＝44J

综上所述，弹簧的弹性势能至少为44J。

（3）分类讨论：因为最大弹簧势能为40J，所以小车至多运动到B点，必不平抛。

情况1：能越过A点，弹性势能 32.5J≤Ep弹1≤40J。

当Ep弹1﹣kmgx1＝0﹣0，得 13m≤x1≤16m。

又因为O点是坐标原点，所以实际坐标值为 5m≤x11≤8m。

情况2：恰能到达圆轨道圆心等高处，当Ep弹2﹣kmgxPO﹣mgr＝0﹣0，得 Ep弹2＝25J

mgr＝kmgx21，得 x21＝2m

又因为O点为坐标原点，所以实际坐标值为 x21＝﹣2m

恰能进入圆轨道，当Ep弹2﹣kmgxPO＝0﹣0，得 Ep弹2＝20J，此时坐标值为0

由动能定理表达式可知，Ep弹与x是线性函数图象，如图。