Question

（2013?合肥一模）在如图甲所示的空间里，存在方向水平垂直于纸面向里的匀强磁场和竖直向上的周期性变化的电场（如图乙所示），周期T=12t₀，电场强度的大小为E₀，E＞0表示电场方向竖直向上．一倾角为30°足够长的光滑绝缘斜面放置在此空间．t=0时，一带负电、质量为m的微粒从斜面上的A点由静止开始沿斜面运动，到C点后，做一次完整的圆周运动，在t=T时刻回到C点，再继续沿斜面运动到t=13t₀时刻．在运动过程中微粒电荷量不变，重力加速度为g，上述E₀、m、t₀、g为已知量．

（1）求微粒所带电荷量q和磁感应强度大小B；
（2）求微粒在A、C间运动的加速度和运动到C点时的速度大小v₁；
（3）求0～2T时间内微粒经过的路程．

Answer 1

分析：（1）根据电场力等于重力，可求出电量，而仅仅由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，即可求出磁感应强度大小；
（2）根据微粒在AC间的受力图，结合牛顿第二定律，即可确定加速度大小与方向，再由运动学公式可求出速度大小；
（3）根据运动学公式，求出在不同时间内路程，从而即可求出0到2T时间内的总路程．

解答：解：（1）由题意给微粒在0到T时间内的运动情况可知，
在0到t₀时间内微粒沿斜面运动，
在这之后的△t₂=T-t₀=11t₀时间内做匀速圆周运动，
做匀速圆周运动时，电场力与重力的合力为零，
则由qE₀=mg，
解得：q=

mg

E0

设粒子在到达C点时速度为v，洛伦兹力提供向心力，
有 qvB=m

v2

r

，
运动周期T=

2πm

Bq

，
本题中T=11t₀，即11t₀=

2πm

qB

，
解得：B=

2πm

11t0q

=

2πE0

11gt0

（2）微粒在AC间运动时的受力图如图所示，
则：（qE₀+mg）sin30°=ma，
解得：a=g，方向沿斜面向下，
微粒运动到C点的速度大小为v₁=at₀=gt₀．
（3）0到t₀时间内的路程s₁=

1

2

a

t

2 0

=

1

2

g

t

2 0

，
t₀到12t₀时间内的路程s₂=2πr=11gt₀²，
12t₀到13t₀时间内路程s₃=gt₀?t₀+

1

2

gt₀²=

3

2

gt₀²，
第二次做圆周运动的速度v=2gt₀，半径是第一次的两倍，
13t₀到14t₀时间内的路程s₄=2s₂=22gt₀²，
所以0到2T时间内的总路程s=s₁+s₂+s₃+s₄=35gt₀²．
 答：1）则微粒所带电荷量

mg

E0

和磁感应强度大小

2πE0

11gt0

；
（2）则微粒在A、C间运动的加速度a=g，方向沿斜面向下，和运动到C点时的速度大小gt₀；
（3）则0～2T时间内微粒经过的路程35gt₀²．

点评：考查粒子做匀速圆周运动时，电场力与重力相平衡，洛伦兹力提供向心力，掌握牛顿第二定律与运动学公式综合应用．