Question

14．火星和地球绕太阳均可看作是匀速圆周运动，其中火星绕太阳运动的周期为2年，则火星与地球每隔2.3年相距最近一次．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，列式可得周期的表达式，求得地球和火星的周期之比，这样可以解出火星的周期．两星转过的角度之差△θ=2π时，火星与地球相邻再次相距最近，从而求出时间

解答 解：设行星质量为m，太阳质量为M，行星与太阳的距离为r，火星的周期为T₁，地球的周期为T₂．
行星绕太阳做近似匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则根据牛顿第二定律有
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
则得 T²=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}$
地球的周期为T₂=1年，则有（$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$）²=（$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$）³
解得火星的周期为T₁=1.8年
设经时间t两星又一次距离最近，
根据θ=ωt
则两星转过的角度之差
△θ=（$\frac{2π}{{T}_{2}}$-$\frac{2π}{{T}_{1}}$）t=2π
得t=2.3年
故答案为：2.3

点评 本题也可运用开普勒周期定律求解火星的运动周期．这种方法，很好理解，关键确定相距最近的条件